徳島大数学'09年[4]
，
とする。
次の2つの等式を満たす2次の正方行列X，Yについて、下の問いに答えよ。
，
(1) 
を求めよ。 (2) Xを求めよ。
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解答 最初から
とおいてやっていくと大変なことになります。見通しが立つところまでは、Xのまま、行列の積が非可換(
)であることに注意して文字式の計算を進めましょう。
･･･①
･･･②(1) 
とおくと、右からXをかけて、 ③を①に代入すると、
左からX，右から
をかけて、 ∴ 
･･･④
∴ 
･･･⑤
②のままでは
が面倒になるので、②両辺に左からYをかけて、 ③を代入して、
右から
をかけて、 ④より
となるので、 ∴ 
∴ 
......[答]
(2) 
と、⑤より、 ∴ 
とおくと、 ⑦より、
⑦より、
⑦より、
⑦より、
以上より、
......[答]
別解．ハミルトン・ケーリーの定理より、
これを利用すると、Aの多項式はAの1次式で表せるので、以下のような解答も可能です。
の逆行列
を、
とおくと、
より、
両辺を比較して、
，
，
∴ 
⑤より、
なので、
とおくと、
両辺を比較して、
，
(i) 
のとき、 ∴ 
∴ 
(ii) 
のとき、 ∴ 
∴ 
この問題ではかなり遠回りになりますが、一般的に使える解法です。
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･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧
･･･⑨
なので、⑧より
，⑨より
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
(行列の積でAとEは可換であることに注意)
