徳島大数学'09年[4]
，とする。
次の2つの等式を満たす2次の正方行列X，Yについて、下の問いに答えよ。
，
(1) を求めよ。
(2) Xを求めよ。


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解答　最初からとおいてやっていくと大変なことになります。見通しが立つところまでは、Xのまま、行列の積が非可換()であることに注意して文字式の計算を進めましょう。

　･･･①
　･･･②
(1) とおくと、右からXをかけて、
　･･･③　(逆行列を参照)
③を①に代入すると、
左からX，右からをかけて、
∴ 　･･･④
∴ 　･･･⑤
②のままではが面倒になるので、②両辺に左からYをかけて、
③を代入して、
右からをかけて、
④よりとなるので、
∴
∴ ......[答]

(2) と、⑤より、
∴
とおくと、

　･･･⑥
　･･･⑦
　･･･⑧
　･･･⑨
⑦よりなので、⑧より
⑥より，⑨より
(i) ，のとき、
⑦より、
(ii) ，のとき、
⑦より、
(iii) ，のとき、
⑦より、
(iv) ，のとき、
⑦より、
以上より、
......[答]

別解．ハミルトン・ケーリーの定理より、
これを利用すると、Aの多項式はAの1次式で表せるので、以下のような解答も可能です。
の逆行列を、
とおくと、より、


両辺を比較して、
，
∴ ，
∴
⑤より、なので、

とおくと、
　(行列の積でAとEは可換であることに注意)

両辺を比較して、
，
∴
(i) のとき、
∴
∴
(ii) のとき、
∴
∴
この問題ではかなり遠回りになりますが、一般的に使える解法です。


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