福井大医数学'10年[2]
表の出る確率がp，裏の出る確率が
のコインがある。このコインを投げ、その結果により、駒が2点A，Bの間を移動し、ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う。
ルールa) 駒はゲームを始めるとき点Aにいる
ルールb) 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり、裏が出ればもう一方の点に移動する
ルールc) k回目のコイン投げの結果、駒が点Aにいるときは
ポイント新たに獲得し、点Bにいるときはkポイント新たに獲得する (
) nを自然数として、以下の問いに答えよ。
(1) n回コインを投げた結果、駒が点Aにいる確率を
とおく。
を求めよ。 (2) k回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を
とおく。
のとき、
をnとpを用いて表せ。 (3) (1)で求めた
をpの関数と考え、
と書くとき、次の極限値を求めよ。
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解答 確率と漸化式の融合問題に、区分求積法の処理が続いている問題です。
(1) ルールa)より、数列
の初項
について、
と考えることにします。 
回コインを投げた結果駒が点Aにいる確率は
で、点Bにいる確率は
です。
回コインを投げたあと、点Aにいる駒はn回目のコイン投げで、確率pで表が出て点Aに留まります。
回コインを投げたあと、点Bにいる駒はn回目のコイン投げで、確率
で裏が出て点Aに移ります。n回コインを投げた結果、駒が点Aにいるのは、上の2つの場合であって、その確率
は、
と
をαとおいて、
･･･②αについて解くと、
であれば、
のとき、①－②より、
これより、数列
は、初項
，公比
の等比数列です。 ∴ 
･･･③
のとき、①は、
となりますが、コイン投げで必ず表が出るので、駒は点Aにいつづけることになり、
です。これは、③に含まれます。 
......[答]
(2) k回目のコイン投げの結果、駒がAにいる確率は
で、このときの得点は
，駒がBにいる確率は
で、このときの得点はkです。(1)の結果を用いて、得点の期待値
は、 
とおくと、
･･･⑥
･･･⑦⑥－⑦より、
∴ 
･･･⑧
④，⑤，⑧より、 
......[答]
(3) 
......[答]
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･･･④
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