北大数学'10年後期[3]
1辺の長さがaの正三角形
から出発して、多角形
，
，･･･，
，･･････ を次のように定める。
(i) ABを
の1辺とする。辺ABを3等分し、その分点をAに近い方からP，Qとする。 (ii) PQを1辺とする正三角形PQRを
の外側に作る。 (iii) 辺ABを折れ線APRQBで置き換える。
のすべての辺に対して(i)〜(iii)の操作を行って得られる多角形を
とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 
の周の長さ
をaとnで表せ。 (2) 
の面積
をaとnで表せ。 (3) 
を求めよ。
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解答 フラクタルをテーマにした問題です。本問の操作によって得られる曲線をコッホ曲線と言います。図形の1部分をどんどん拡大していくと、普通は、だんだん滑らかな図形が現れてくるのですが、コッホ曲線のように、フラクタルでは拡大するとどんどん複雑な図形が現れてくるようになります。海岸線や雪の結晶など、自然界の現象では、フラクタルのような図形が現れることが知られています。
(1) 
の周囲の長さは、長さaの1辺が3辺あるので、
です。 
から
を作るとき、1辺の長さは、操作(i)で3等分されます。よって、
の1辺の長さは、
です(等比数列を参照)。
また、
から
を作るとき、辺の個数は、1辺ABから、AP，PR，RQ，QBの4個の辺ができます。よって、
の辺の個数は、
個です。
よって、
の周の長さは、
......[答]
(2) 
の面積は、
から
を作るとき、
の各辺について、1つの辺に接するように正三角形1個が付け加わり、正三角形の個数分の面積が増大します。正三角形の個数は
の辺の個数に一致し、
個です。
を作るときに付け加わる正三角形1個の面積は、
の面積の
で、
です。
のとき、
を作るときに付け加わる正三角形1個の面積は、
を作るときに付け加わる正三角形1個の面積の
で(辺の長さは
)、
です。
のときもこうなります。
よって、
のとき、
から
を作るときに増大する面積は、
∴ 
......[答] 追記．(3)の結果と、
より、操作を無限に繰り返していくと、
は、有限な面積
をもつのに、無限に周の長い図形になっていくことがわかります。
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......[答] (
のときも成り立ちます)
より、