北大数学'10年後期[4]
座標平面上の点
を点
に移す点の移動f が行列
を用いて
で表されるとき、f を1次変換という。このときAを1次変換f を表す行列という。
tを実数とし、座標平面上に3点P
，Q
，R
をとる。
(1) PをQに移し、QをPに移す1次変換gを表す行列を求めよ。
(2) さらに、gがRをR自身に移すとする。このときのt とRを求めよ。
(3) 上で求めたRのうち
であるものについて、集合
が集合
と等しくなるような1次変換f の個数を求めよ。ただし、P，Q，Rをf で移した点をそれぞれ
，
，
とする。
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解答 1次変換に関する問題ですが、本問では、行列に関する以下の技巧を使います。
2個の1次独立なベクトル
，
について、
，
･･･①
より、①の2式を1つにまとめて、
･･･(＊)
(1) 
，
より、gを表す行列をBとして、 
，
(＊)を用いて、
を右からかけて(逆行列を参照)、
......[答]
(2) 
より、 ∴ 
，
両式とも変形すると、同一の方程式、 となり、
......[答]
のとき、R
，
のとき、R
......[答]
(3)(i) (1)，(2)の1次変換gは、
，
，
より、 
･･･①を満たします。
(ii) 恒等変換e (任意のベクトル
について
)を表す行列は、単位行列
ですが、
，
，
となるので、①を満たします。 ①となる可能性は(i)，(ii)以外に、
の4通りしかありません。
∴ 
を右からかけて、 このとき、
より、
となり、①を満たします。 ∴ 
を右からかけて、 このとき、
より、
となり、①を満たします。 ∴ 
を右からかけて、 このとき、
より、
となり、①を満たします。 ∴ 
を右からかけて、 このとき、
より、
となり、①を満たします。
以上より、①を満たす1次変換は(i)～(vi)の、6個 ......[答]
追記．本問では、行列や3点の座標が具体的に指定されていますが、指定なしで考えてみます。三角形ABCの3頂点A，B，Cの位置ベクトルを
，
，
とし、
，
は1次独立だとします。s，tを実数として、 とおくことができます。
･･･①を満たす可能性は、上記で書いたように以下の6通りしかありません。
(ii)は恒等変換で①は満たされます。
(i)が成り立ち、f を表す行列が存在するとして、
，
∴ 
，
は1次独立なので
は正則(逆行列が存在)で、右から
をかけて、 としてAが定まります。
となるために、
これより
であれば、①は満たされます。 以下同様に(iii)～(iv)においても
が存在して1次変換fを表す行列が定まります。 (iii)が成り立つとすると、
，
となるために、
これより、
かつ 
，従って、
または ‘
かつ
'となりますが、‘
かつ
'のときには
となり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。 (iv)が成り立つとすると、
，
となるために、
これより、
かつ 
，従って、
または ‘
かつ
'となりますが、‘
かつ
'のときには
となり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。 (v)が成り立つとすると、
，
となるために、
これより、
かつ 
，従って、
，
であれば、①は満たされます。 (vi)が成り立つとすると、
，
となるために、
これより、
かつ 
，従って、
，
であれば、①は満たされます。 従って、
，
が1次独立であればf を表す行列が存在し、
であれば、(i)～(vi)の6個の1次変換が①を満たします。
であれば、(i)，(ii)の2個の1次変換が①を満たします。
，
または 
，
であれば、(i)，(ii)，(iv)，(v)の4個の1次変換が①を満たします。
本問では、 とすると、
となるので、①を満たす1次変換は6個ある、ということになります。
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