阪大理系数学'10年後期[3]
曲線C：
上に点A
をとる。ただし、
とする。
(1) C上にありAとは異なる点P
について、そこでの接線がAでの接線と平行となるようにpの値を定めよ。 (2) pは上で定めた値とする。Cとx軸および2直線
，
で囲まれた図形を、x軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
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解答 接線と回転体の体積の基本問題です。(2)の置換積分は
とおくのが定石ですが、
なので、被積分関数の分母を簡単な形にするように
とおきます。
(1) 
Pでの接線とAでの接線が平行になるので、両接線の傾きが等しく、
分母を払うと、
(2) 求める回転体の体積Vは、
より、
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より、
......[答]
とおくと、
のとき、t：
......[答]