静岡大数学'10年[1]
kを定数とする。2次方程式が2つの実数解α，β をもち、α，β はを満たすものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) kの値の範囲を求めよ。
(2) をkを用いて表せ。
(3) αとβ の差が整数であるときのkおよびα，β の値を求めよ。


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解答　2 次関数・2次方程式と整数の融合問題です。

(1) とおくと、2次方程式解が、2実数解α，β をもつので、です。
のグラフは下に凸な放物線で、ということは、において，において，においてとなる(2次関数を参照)ということです。よって、
2次方程式の解α，β が ⇔ かつ 　(2次方程式の解の配置を参照)
　･･･①
　･･･②
①かつ②より、
......[答]

(2) 2次方程式の判別式D：
2次方程式の2解は、
∴ ，　･･･①
　(2次方程式の一般論を参照)
......[答]

(3) pを整数として、とすると、(2)を用いて、

として、(1)よりですが、なので、においては単調減少です。
，
∴
これを満たす平方数は、のみです。このとき、で、

より、 ......[答]
①より、
， ......[答]


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