静岡大理数学'10年[2]
次の問いに答えよ。
(1) 不等式
が成り立つことを示せ。 (2) 関数
の増減、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。
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解答 
として、
を既知として認めてしまえば単なる計算問題ですが、以下では、
を既知としないでやってみます。素直に考えて行くと泥縄式になってきますが、数学の勉強、とは、そういうものかも知れません。
(1) 
とすると、
より
，
，よって、
∴ 
において
で
は増加，
において
で
は減少(関数の増減を参照)。
以上より、
，
は単調増加。
ここで、
としたときに、
が0以上の値に近づいて行けば
が言える ･･･① のですが、問題は、
です。
のとき
を既知としてもよいかも知れませんが、ここでは、確認しておくことにします。
において
で
のとき
なので、
を言うためには、
において
となり、
のとき
となる関数
を見つけてきて、はさみうちにすることになります。
の候補は、
です。
のとき、
です。
において、
であってくれればよい(元の不等式に戻ってしまいます)のですが、xで両辺を割ると、
になるので、
の最小値を調べてみます。
とすると、
において
より
は減少、
において
より
は増加。よって、
は
において最小値
(
)をとります。よって、
において、
両辺にxをかけて、
∴ 
目標の不等式が成り立つことを示せてしまいました。
また、
における不等式、 において、
とすると、
となり、はさみうちの原理より、
これより、①において、
となるので、やはり、 となります。ですが、この証明は
の最小値を考えることにより、既にすんでいます。(1)の答案としては、以下のようなものになるでしょう。
を考える。 
において
より
は減少、
において
より
は増加。
よって、
は
において最小値
(
)をとる。よって、
において、両辺にx (
)をかけて、 ∴ 
問題文を見ただけで最初から以上のような答案を書くのは難しいと思いますが、
の増減から
を言うためには、というところから思いつけば、充分に試験会場で間に合うはずです。
(2) 
とすると、
，
とすると、
，
のとき
，
のとき
(1)の結果より
において
，ここで、
とすると
，はさみうちの原理より
，よって、
増減表(関数の増減、関数の凹凸を参照)より、グラフは右図実線(白マルは除く)。
追記．上記と同様に、
が問題になることがあります。上記と同じようにやろうとして、
の各辺にxをかけて
の形ではさみうちに持ち込もうとしても、
のとき
なので、そもそも、
という不等式が成立しません。 そこで、
では、
の各辺に
をかけることを考えます。まず、
の最小値を調べます。
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とすると、
とすると、
において
で
は減少，
において
で
は増加。
の最小値：
より、
をかけて、
とすると、
，はさみうちの原理より、
