富山大医数学'10年[3]
行列
で表される座標平面上の点の移動を考える。原点を通る直線l上のすべての点がl上に移されるとき、この移動によってlはそれ自身に移されるということにする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 原点を通る直線で、この移動によってそれ自身に移されるものがちょうど2つ存在するための必要十分条件をa，b，cを用いて表せ。
(2) a，b，cが(1)の条件をみたすとき、(1)の2つの直線は、直線
に関して対称であることを証明せよ。
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解答 1次変換の問題です。x軸に垂直な直線と、そうでない直線(傾きが存在する直線)に分けて考えます。
(1)(i) それ自身に移される直線が
のとき、 直線
上の点は、tを任意の実数として、
と表せます。 これが、再び直線
上の点であるために、 直線
上のすべての点について、つまり任意の実数tについて、これが成り立つために、 
･･･①が必要です。
逆に
のとき、つまり、
のとき、
直線
以外にもそれ自身に移される直線
が存在するとします。
直線
上の点は、tを任意の実数として、
と表されます。 これが、再び直線
上の点であるために、 直線
上のすべての点について、つまり任意の実数tについて、これが成り立つために、 が必要ですが、
のとき、つまり、
のとき、 となり、任意の実数kについて、直線
がそれ自身に移される直線となり、「ちょうど2つ存在する」という条件を満たしません。従って、
ですが、このときは、②より、
(直線は
)となり、移動Aによってそれ自身に移される直線がちょうど2つ、直線
と直線
が存在します。よって、①と合わせて、この場合の必要十分条件は、 
かつ 
･･･③(ii) それ自身に移される直線が2本とも
の形をしているとき、 直線
上の点は、tを任意の実数として、
と表されますが、 これが、再び直線
上の点であるために、 直線
上のすべての点について、つまり任意の実数tについて、これが成り立つために、 
･･･④それ自身に移される直線がちょうど2本存在するために、
(
のときは④が2次方程式になりません)であってかつ、直線の傾きkが2通り存在する、つまり、2次方程式④が異なる実数解をもつことが必要十分です。よって、 ③，⑤を合わせて、(i)，(ii)より、求める必要十分条件は、
......[答]
(2) a，b，cが(1)の条件をみたすとき、まず、
のとき、つまり③のとき、それ自身に移される直線は、直線
と直線
でこの2直線は、直線
に関して対称です。 
の場合は、直線の傾きkは、相異なる2実数解を有する2次方程式④を満たします。2次方程式④の2解を
，
とすると、解と係数の関係より、直線
，即ち
と直線
は、直線
に関して対称です。(証明終)
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･･･②
または 
(
，
)
･･･⑤