首都大理系数学'11年前期[2]
座標空間の3点A
,B
,C
を通る平面をαとする。点D
を通り、ベクトル
に平行な直線を
とする。また、点Dを通り、ベクトル
に平行な直線を
とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)
とαの交点をEとし、
とαとの交点をFとする。E,Fの座標を求めよ。 (2)
と
のなす角をθ (
)とするとき、
の値を求めよ。 (3) △DEFの面積を求めよ。
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解答 平面の方程式を利用すれば大したことはないのですが、利用しない、ということになると、やや面倒になります。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1)
,
平面α上の点
は、p,qを実数として、
・・・①と表すことができます。ここで、
,
双方に垂直なベクトル
を見つけることができたとして、①両辺と
との内積を考えると、
より、 ∴
・・・②
という関係式が成り立ちます。この関係式を平面αの方程式と言います。そこで、
を求めることにします。
・・・③
・・・④④より、
,これを③に代入して、
∴ 
よって、
とすれば、
は、
,
双方に垂直になります。この
を、平面αの法線ベクトルと言います。法線ベクトルは方向のみが重要で、
の大きさは重要な要素ではないので、
として、
とします。このとき、②は、
・・・⑤となります。
直線
上の点
は、
・・・⑥と表せます。平面α上の点は⑤を満たすので、これを⑤に代入すると、
∴
⑥より、Eの座標は、
......[答]直線
上の点
は、
・・・⑦と表せます。これを⑤に代入すると、
∴
⑦より、Fの座標は、
......[答]
より、
......[答]
(3) △DEFの面積は、
追記.上記で、
,
の双方に垂直なベクトルは、外積を利用すれば、 と求めることができます。答案には、
となる事実を書いておけば良いでしょう。
平面の方程式を利用しない場合には、平面α上の点
が、 を満たすことを利用します。⑥より、直線
上の点
が⑧を満たすことから、 より、
を連立して、Eの座標を求めることになります。Fの座標も同様です。
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