首都大理系数学'11年前期[2]
座標空間の3点A
，B
，C
を通る平面をαとする。点D
を通り、ベクトル
に平行な直線を
とする。また、点Dを通り、ベクトル
に平行な直線を
とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
とαの交点をEとし、
とαとの交点をFとする。E，Fの座標を求めよ。 (2) 
と
のなす角をθ (
)とするとき、
の値を求めよ。 (3) △DEFの面積を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 平面の方程式を利用すれば大したことはないのですが、利用しない、ということになると、やや面倒になります。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
，
平面α上の点
は、p，qを実数として、 
･･･①と表すことができます。ここで、
，
双方に垂直なベクトル
を見つけることができたとして、①両辺と
との内積を考えると、
より、 ∴ 
･･･②
という関係式が成り立ちます。この関係式を平面αの方程式と言います。そこで、
を求めることにします。 
･･･③
･･･④④より、
，これを③に代入して、 
∴ 
よって、
とすれば、
は、
，
双方に垂直になります。この
を、平面αの法線ベクトルと言います。法線ベクトルは方向のみが重要で、
の大きさは重要な要素ではないので、
として、
とします。このとき、②は、 
･･･⑤となります。
直線
上の点
は、 
･･･⑥と表せます。平面α上の点は⑤を満たすので、これを⑤に代入すると、
∴ 
⑥より、Eの座標は、
......[答]直線
上の点
は、 
･･･⑦と表せます。これを⑤に代入すると、
∴ 
⑦より、Fの座標は、
......[答]
より、
......[答]
(3) △DEFの面積は、
追記．上記で、
，
の双方に垂直なベクトルは、外積を利用すれば、 と求めることができます。答案には、
となる事実を書いておけば良いでしょう。
平面の方程式を利用しない場合には、平面α上の点
が、 を満たすことを利用します。⑥より、直線
上の点
が⑧を満たすことから、 より、
を連立して、Eの座標を求めることになります。Fの座標も同様です。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2023(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
，
，
，
，
･･･⑧