名古屋市大芸工数学'11年[4]
xy平面上において、媒介変数t (
)によって
，
と表される右図の曲線について次の問いに答えよ。
(1) xの最大値、最小値を求めよ。
(2) 
を求めよ。 (3) この曲線で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
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解答 曲線はカージオイドです。媒介変数表示された曲線を回転させたときの回転体体積の問題です。大変な計算になりそうに見えますが、やってみると意外と簡単です。
(1) 
より、
，つまり、
のときに、最小値：
......[答]
，つまり、
のときに、最大値：4 ......[答]
......[答]
(3) 
(
)における曲線のy座標を
，
(
)における曲線のy座標を
とします。立体の体積Vは、
を回転させた回転体の体積から、
を回転させた回転体の体積を引いたものです(x軸のまわりの回転体を参照)。 
とおくと、(2)より
では、x：
のときt：
，
では、x：
のときt：
(置換積分を参照)
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とおくと、
，t：
のとき、u：
，t：
のとき、u：
(積分区間を1つにまとめた)
......[答]
