東北大理系数学'11年前期[5]
aを実数、zを0でない複素数とする。zと共役な複素数を
で表す。
(1) 次を満たすzを求めよ。
(2) 次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ。
(3) 次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ。
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解答 複素数の問題と思いきや、(2)(3)は実数の問題でした。
(1) 与式にzをかけます。
但し、与式は
を含むので、
が解になることはなく、
です。
①が
という解をもつとすると、
より
(i) 
のとき、①は、 
より、
(ii) 
のとき、①の解は、 よって、
......[答]
(2) 与式にzをかけます。
･･･②u，vを実数として、
とおくと、
です。 これは、かつて複素数平面が入試範囲に入っていたときに、
となっていた公式に他なりません。
は実数なので、
は実数です。従って、
より、zは実数に限られ、
です。②は、 
･･･③となります。但し、与式は
を含むので、
をが解になることはなく、
です。
②が
という解をもつとすると
(i) 
のとき、②は、 
より、
，即ち、
で、②を満たすz (
)が存在します。(ii) 
のとき、③をzの2次方程式とみるとき、実数解zが存在するために、 判別式：
以上より、与式を満たすzが存在するaの範囲は、
を含めて、
......[答]
(3) 与式にzをかけます。
･･･③u，vを実数として、
とおくと、
です。 
･･･④となります。但し、与式は
を含むので、
が解になることはなく、
です。従って
です。
これより与式を満たすzが存在するとき、④は
の範囲に解を持ちます。この条件は、 として、
のグラフの軸が
(
)であることから、
，即ち、
......[答] (2次方程式の一般論を参照)
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より、
とおくと、xは実数で
です。これより、③は、
