山形大医数学'11年[1]
座標平面において、点
を中心とする半径2の円をCとする。点
を通る直線
と円Cとの交点をA，Bとし、点
を通る直線
と円Cとの交点をP，Qとする。さらに、
と
は垂直に交わるとする。ただし、
は座標軸とは一致しない。
の傾きをkで表す。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 
と
の交点Dは円Cの内部にあることを示せ。 (2) 弦ABの長さをkを用いて表せ。
(3) 弦PQの長さをkを用いて表せ。
(4) 四角形APBQの面積の最大値を求めよ。
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解答 (2)，(3)は、半径rの円が直線から切り取る弦の長さが、円の中心と直線との距離をdとして、
(∵ 三平方の定理)となることを使って求めます。なお、円と直線の位置関係を参照してください。
(1) 
，
は、それぞれ定点を通る直線で、直交するので、交点は、2定点
，
を直径の両端とする円周
上にあります。
は円Cの内部に位置するので、
，
の交点Dは円Cの内部の点です。
弦ABの長さは、
......[答]
弦PQの長さは、
......[答]
(4) 四角形APBQの面積Sは、
Sは、
、つまり、
のとき、最大値：7 ......[答]
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と直線
：
，つまり、
との距離
は、
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との距離
は、
