阪大理系数学'24年前期[5]
自然数1，2，3，･･･，nのうち、nと互いに素であるものの個数を
とする。
(1) 自然数a，b，cおよび相異なる素数p，q，rに対して、等式
が成り立つことを示せ。
(2) 
がnの約数となる5以上100以下の自然数nをすべて求めよ。
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解答 p，q，rを素数、a，b，cを自然数として、素因数分解が
となる整数の約数は、
個あります(整数を参照)。本問では、互いに素な自然数の個数を考えます。
(1) まず、素数2個p，q (
)による素因数分解
(a，bは自然数)を考えます。1，2，3，･･･，
のうち
と互いに素なものは、1，2，3，･･･，
から、pの倍数と、qの倍数を除いたものです。但し、pの倍数とqの倍数には重複があります。 1，2，3，･･･，
を要素とする集合をC，Cの要素のうちpの倍数である集合をA，Cの要素のうちqの倍数である集合をBとして，Cの要素のうちpの倍数であってかつqの倍数である集合
は
の倍数の集合です。ここで、
は、pの倍数でもあり、qの倍数でもあり、
の倍数でもあります。よって、 自然数a，b，cおよび相異なる素数p，q，rに対して、1，2，3，･･･，
のうち
と互いに素なものは、1，2，3，･･･，
から、pの倍数と、qの倍数と、rの倍数を除いたものです。但し、pの倍数とqの倍数には重複があり
の倍数です。qの倍数とrの倍数にも重複があり
の倍数です。rの倍数とpの倍数にも重複があり
の倍数です。また、
の倍数と
の倍数と
の倍数にも重複があり
の倍数です。1，2，3，･･･，
を要素とする集合をD，Dの要素のうちpの倍数である集合をA，Dの要素のうちqの倍数である集合をB，Dの要素のうちrの倍数の集合をCとして，
は
の倍数の集合、
は
の倍数の集合、
の
の倍数の集合、
は
の倍数の集合です。
はpの倍数でもあり、qの倍数でもあり、rの倍数でもあり、
の倍数でもあり、
の倍数でもあり、
の倍数でもあり、
の倍数でもあります。 
･･･②
(2) 素数を小さい方から4個あげると、2，3，5，7なので、素数4個による素因数分解になる自然数で最小のものは、
で100より大きく、100以下の自然数は、3個以下の素数で素因数分解できます。
素数3個による素因数分解となる自然数を小さい方からあげると、
，
，
，
，
，
，
となり、それ以外はすべて100より大きくなります。100以下の自然数で素因数分解が3個の素数によるものでは、素因数分解を
として、すべて
です。つまり、3個の素数の積として表される自然数になります。自然数1，2，3，･･･，
のうち、
と互いに素な自然数の個数は、②より、 p，q，rは素数で、3個の素数のうちには2以外の素数があり、例えば、
とすると、qは奇数で偶数
(
)の倍数になり得ず、
が
の約数になることはありません。100以下の自然数で素因数分解が2個の素数p，q (
)によるものでは、a，bを自然数、素因数分解を
，
として、①より、 ・
，
のとき、偶数
，
は、奇数
の約数になり得ず、
は
の約数になり得ません。 ・
，
のとき、 これは、
の約数になり得ません(
なので
ですが、以下の
の場合に含まれます)。 ・
，
のとき、qが奇数なので、cを自然数、mを奇数として、
と表せますが、 
の場合、mは3以上の奇数ですが、m は
の約数でも素数qの約数でもなく(
)、
は、
の約数になり得ません。
の場合、
より
は
の約数でなく、偶数
は奇数
の約数でもなく、
は、
の約数になり得ません。は偶数なので、奇数である
の約数になり得ません。 以上より、
，
に限られます。 は、a，bがいかなる自然数であっても、
の約数です。5以上100以下の自然数で、素因数分解が
(a，bは自然数)の形になる自然数は、 です。
素因数分解が1個の素数pによるものでは、素因数分解を
だとして、pの倍数は
と互いに素ではありません。
以下のpの倍数は
個あります。
と互いに素な自然数は、
個あります。
のとき、pは素数であり奇数なので、偶数
(
)は
の約数にはなり得ず、
は
の約数ではありません。
のとき、
は、aがいかなる自然数であっても、
の約数です。5以上100以下の自然数で、素因数分解が
(aは自然数)の形になる自然数は、 です。
③，④より、
がnの約数となる5以上100以下の自然数nは、 6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96 ......[答]
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･･･①
，
のとき、qは奇数なので
は偶数であり、
，
，
，
，
，
，
，
，
･･･③
，
，
，
･･･④
