大阪大学理系2024年数学入試問題
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[1] 自然数nに対して、関数を
() で定める。ただし、eは自然対数の底である。
(1) 方程式は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。 (2) (1)における実数解をとおくとき、極限値を求めよ。 (3) 極限値を求めよ。 [解答へ]
[2] α,βを複素数とし、複素数zに対して
とおく。α,βは、
かつ を満たしながら動く。ただし、iは虚数単位である。
(1) がとりうる値の範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。 (2) であるとき、α,βの値を求めよ。 [解答へ]
[3] 空間内の2直線,mはねじれの位置にあるとする。とmの両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。
[解答へ]
[4] とする。xy平面において、点を中心とする半径1の円をCとする。
(1) 円Cのの部分とy軸および2直線,で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 (2) 円Cで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をとする。(1)におけるについて、となるaの値を求めよ。 [解答へ]
[5] 自然数1,2,3,・・・,nのうち、nと互いに素であるものの個数をとする。
(1) 自然数a,b,cおよび相異なる素数p,q,rに対して、等式
が成り立つことを示せ。
(2) がnの約数となる5以上100以下の自然数nをすべて求めよ。 [解答へ]
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