大阪大学理系2024年数学入試問題
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[1] 自然数nに対して、関数
を
(
)
(1) 方程式
は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。 (2) (1)における実数解を
とおくとき、極限値
を求めよ。 (3) 極限値
を求めよ。 [解答へ]
[2] α，βを複素数とし、複素数zに対して
とおく。α，βは、
かつ 
(1) 
がとりうる値の範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。 (2) 
であるとき、α，βの値を求めよ。 [解答へ]
[3] 空間内の2直線
，mはねじれの位置にあるとする。
とmの両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。
[解答へ]
[4] 
とする。xy平面において、点
を中心とする半径1の円をCとする。
(1) 円Cの
の部分とy軸および2直線
，
で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積
を求めよ。 (2) 円Cで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を
とする。(1)における
について、
となるaの値を求めよ。 [解答へ]
[5] 自然数1，2，3，･･･，nのうち、nと互いに素であるものの個数を
とする。
(1) 自然数a，b，cおよび相異なる素数p，q，rに対して、等式
が成り立つことを示せ。
(2) 
がnの約数となる5以上100以下の自然数nをすべて求めよ。 [解答へ]
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