阪大理系数学'24年前期[2]
α，βを複素数とし、複素数zに対して
とおく。α，βは、
かつ 
(1) 
がとりうる値の範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。 (2) 
であるとき、α，βの値を求めよ。
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解答 京大理系の24年[2]にも似ていますが、新傾向で方針の立ちにくい難問です。京大理系と同じく三角不等式の利用も可能ですが、ここでは、(2)も踏まえ、α，βについて解いてしまう、という考え方でやってみます。
，
より(絶対値を参照)、
これより、複素数平面上で
は、2を中心とし半径1の円の周上及び内部の点です(複素数平面の図形的応用を参照)。 ･･･①
，
より、
これより、
は、2を中心とし半径3の円の周上及び内部の点です。 ･･･②
①，②をどう扱うかですが、以後で
がどうなっているかを考えるためには、①，②からα，βを求め、
に代入するという流れになりそうです。そこで、①では、2を中心とし半径1の円の周上及び内部の点を表すのに、rを
である実数、θを実数とし、極形式を用いて、
と表したくなるのですが、これで式変形をしていくと、
という形がやたらと出てきて面倒です。そこで、
とおくことにします。
より、
･･･③
として、
は、中心z，半径
の円の周上及び内部の点を表します(複素数平面の図形的応用を参照)。
注．本問では、
，
の形のまま計算を強行すると手に負えなくなります。(2)も踏まえ、以下のように、③を利用して、ある特定の形
，
について整理することがポイントです。
以上より、
として、①は、
･･･④
として、②は、
･･･⑤
④－⑤より、
･･･⑥
･･･⑦
⑥より、③を利用して、
･･･⑧
(1) 
これに、⑦，⑧を代入し、
ここで、
より、 
･･･⑨
上記のうち、
は、
より、複素数平面上で、中心
，半径
の円の周上及び内部(領域Dとします。右上図黄色着色部)の点を表します。
より、
は、領域D内の点を中心とし、半径
の円Cの周上及び内部(円については、右上図参照)の点を表します。
円Cを、その中心が領域D内にあるように動かして考えると、
のとりうる値の範囲は、複素数平面上で、
を中心とし、半径
の円の周上及び内部の点になります。図示すると右下図黄緑色着色部(境界線を含む)。
(2) (1)の右図を見ればわかる通り、
として
より、Aを中心とし半径
の円は原点Oを通ります。原点Oは円周上に位置し、
のx軸方向からの回転角は
です。よって、⑨において、
となるのは、r，sがともに最大で
，
であって、
のときで、
，
のときです。 これらと、⑦，⑧より、
......[答]
......[答]
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