京大理系数学'24年前期[2]
を満たす複素数xと、
を満たす複素数yに対して、
とする。このような複素数zが複素数平面において動く領域を図示し、その面積を求めよ。
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解答 説明しにくい問題なのですが、以下では三角不等式を利用します。
α，βが実数のとき、
が成立しますが、α，βが複素数のときにも、三角不等式が成立します。複素数平面上の3点α，β，
について、0，α，βがこの順に一直線上にあるとき(
)を含め、
として、三角形の2辺の和は他の1辺より大きい(三角形の条件を参照)ので、
の場合を含めて、
，
三角不等式：
･･･(＊) が成立します。また、
，
を固定し、αとβの間の角を変化させると、
は、
を満たすすべての実数rの値をとり得ます。
より、yは、
を中心とする半径3の円周上の点です(複素数平面を参照)。
(極形式を参照)，θは任意の実数、として、
と表せます。
より、
に代入すると、
2で割ると、
･･･①
は0以上1以下のすべての実数の値をとり得ます。三角不等式で
，
と見ると、
と①より
であって、
とすると、
と①より、
･･･②
･･･③
②，③より、
は、
以上
以下のすべての実数の値をとり得ます。
zは、
を中心とする円周上の点ですが、その半径は
以上
以下のすべての値をとり得ます。
以上より、複素数zが複素数平面において動く領域は、
を中心とする半径
の円から外側であってかつ半径
の円から内側です。図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む)。その面積は、
......[答]
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