京都大学理系2024年数学入試問題
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[1] n個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を求めよ。 [解答へ]
[2] 
を満たす複素数xと、
を満たす複素数yに対して、
とする。このような複素数zが複素数平面において動く領域を図示し、その面積を求めよ。
[解答へ]
[3] 座標空間の4点O，A，B，Cは同一平面上にないとする。線分OAの中点をP，線分ABの中点をQとする。実数x，yに対して、直線OC上の点Xと、直線BC上の点Yを次のように定める。
，
[解答へ]
[4] 与えられた自然数
に対して、自然数からなる数列
，
，
，･･･を次のように定める。
次の問いに答えよ。
(1) 
，
，
，
がすべて奇数であるような最小の自然数
を求めよ。
(2) 
，
，･･･，
がすべて奇数であるような最小の自然数
を求めよ。
[解答へ]
[5] aは
を満たす定数とする。座標平面上で、次の4つの不等式が表す領域を
とする。
次の問いに答えよ。
(1) 
の面積
を求めよ。
(2) 
を求めよ。
[解答へ]
[6] 自然数kに対して、
とする。nを自然数とし、
の整数部分がn桁であるようなkの個数を
とする。また、
の整数部分がn桁であり、その最高位の数字が1であるようなkの個数を
とする。次を求めよ。
ただし、例えば実数2345.678の整数部分2345は4桁で、最高位の数字は2である。
[解答へ]
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