京大理系数学'24年前期[3]
座標空間の4点O,A,B,Cは同一平面上にないとする。線分OAの中点をP,線分ABの中点をQとする。実数x,yに対して、直線OC上の点Xと、直線BC上の点Yを次のように定める。
,
このとき、直線QYと直線PXがねじれの位置にあるためのx,yに関する必要十分条件を求めよ。
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解答 直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔ 「直線QYと直線PXが交点をもつ、または、QY // PX」
が第一感なのですが、以下ではこれで解答しますが、かなり面倒になります。
必要十分条件については、条件・命題を参照してください。
4点O,A,B,Cが同一平面上にないので、
,
,
は1次独立です。 ・・・(*)
また、
,
・・・B
,
・・・C 直線PX上の点をR,t を実数として、B,Cより(直線のベクトル方程式を参照)、
・・・D 直線QY上の点をS,sを実数として、B,Cより、

・・・E 直線PXと直線QYが交点をもつとすると、
となるs,t が存在し、D,Eより、
(*)より、
Fより、
の場合、Gが成立しなくなるので、
です。
Hより、
また、
のときFを満たすsは存在しません。
のとき
となり交点が存在するので、交点が存在するためには
が必要です。
つまり、直線PXと直線QYが交点をもつ ⇒ 
逆に、
のとき、
Dは、
Eは、
のとき、
より、
となり交点が存在します。
よって、直線PXと直線QYが交点をもつ ⇔
・・・I
//
となるとき、
となる実数kが存在するので、Cより、
(*)より、
,
,
よって、
です。
逆に
のとき、Cより、
となり、
//
となります。
よって、
//
⇔
・・・J
I,Jより、直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔ 「直線QYと直線PXが交点をもつ、または、QY // PX」 ⇔ 
よって、
直線QYと直線PXがねじれの位置にあるためのx,yに関する必要十分条件は、
......[答]
[別解] 上記で面倒になったのは、直線QYと直線PXがねじれの位置にないことを、交点をもつ場合と平行になる場合で分けて考えたからです。
これをまとめて考える解法があります。最初から分かっていれば、まとめて考えた方が良いのですが、試験会場で、上記で始めてしまった場合は、そのまま解答してしまう方が良いと思います。
直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔ 4点P,Q,X,Yが同一平面上にある ⇔
となる実数s,t が存在する(ベクトルの1次独立を参照)。
@,A,Bより、 (*)より
と
は1次独立です。ここで、 とすると、
(*)より、
Kより、
Lより、
Mより、
よって、
となる実数s,t が存在するためには、
逆に
のとき、
,
となるs,t が存在するので、直線QYと直線PXはねじれの位置にありません。
つまり、直線QYと直線PXがねじれの位置にない ⇔
よって、直線QYと直線PXがねじれの位置にある ⇔ 
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