京大理系数学'24年前期[6]
自然数kに対して、
とする。nを自然数とし、
の整数部分がn桁であるようなkの個数を
とする。また、
の整数部分がn桁であり、その最高位の数字が1であるようなkの個数を
とする。次を求めよ。
ただし、例えば実数2345.678の整数部分2345は4桁で、最高位の数字は2である。
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解答 3.9以上5.1未満(5.1－3.9 = 1.2)の整数は、4と5の2個です。
a，bを実数(
)として、a以上b未満の整数の個数Mについて、
です(以下の①と②)。
整数部分の桁数や、最高位の数字は常用対数を用いて考えます。
3桁の整数mは、100以上1000未満なので、
，つまり、
，常用対数を用いて書くと、
，つまり、
です。
3桁の整数で最高位が1の整数mは、100以上200未満なので、
，つまり、
，常用対数を用いて書くと、
，つまり、
です。
a，b，c，dを正数として、
，
のとき、
です(以下の③)。
の整数部分がn桁 ⇔ 
⇔ 
(対数関数を参照) ⇔ 
⇔ 
これを満たす自然数kの個数
は、
･･･①
の整数部分がn桁でその最高位が1 ⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔ 
これを満たす自然数kの個数
は、
･･･②
･･･③
とすると(数列の極限を参照)、
③右辺は、
とすると、
はさみうちの原理より、
......[答]
注．上記では
がしつこく出てきます。試験会場では時間節約のため、
と文字において答案を書くようにしましょう。
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