京大理系数学'24年前期[5]
aはを満たす定数とする。座標平面上で、次の4つの不等式が表す領域をとする。
，，，
次の問いに答えよ。
(1) の面積を求めよ。
(2) を求めよ。


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解答　面積は腕づくで計算するしかありませんが、極限は、少々工夫が必要です。

領域は右図黄緑色着色部です。
曲線と直線との交点は、
，，より、　(2次方程式を参照)
∴ 　(対数関数を参照)
曲線と直線との交点は、
，，においては、
∴

(1) より、の面積は、
　(不定積分の公式を参照)

　(に注意)


......[答]
注．答案を書くときに、上記では、定積分の上端と下端が複雑で答案を書きにくくなるのが計算前から明らかなので、上端と下端を文字において答案を書く方がよいと思います。
，とおくと、，であって、


ここで、


という具合になります。

(2) のとき、
　･･･①　(関数の極限を参照)
また、のとき、，，
よって、として、
この右辺は、極限の公式：と、より、
よって、はさみうちの原理より、
　･･･②
(1)の結果において、①，②より、

......[答]



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