京大理系数学'24年前期[4]
与えられた自然数
に対して、自然数からなる数列
，
，
，･･･を次のように定める。
次の問いに答えよ。
(1) 
，
，
，
がすべて奇数であるような最小の自然数
を求めよ。
(2) 
，
，･･･，
がすべて奇数であるような最小の自然数
を求めよ。
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解答 (1)は見つかるまで調べても試験時間内に収まります。(2)はそういうわけにいかないので、
からすべて奇数だとして漸化式を考えます。
(1) 
から順に
に奇数を入れてみます。まず、
としてみます。
，
，
，
です。 
とすると、
，
，
，
です。
とすると、
です。
とすると、
，
，
です。
とすると、
です。
とすると、
，
です。
とすると、
です。
とすると、
，
，
です。よって、
，
，
，
がすべて奇数であるような最小の自然数
は、
......[答]
(2) (1)を見ていると、
のみ奇数である最小の自然数
は
，
，
がすべて奇数である最小の自然数
は
，
，
，
がすべて奇数である最小の自然数
は
，
，
，
，
がすべて奇数であるような最小の自然数
は、
となっているので、
，
，･･･，
がすべて奇数であるような最小の自然数
は、
になりそうですが、まさか、そこまで全部調べるわけにはいきません。 そこで、漸化式を作ることを考えます。
，
がともに奇数だとして、
･･･① (2項間漸化式を参照)
･･･② ∴ 
①－②より、
･･･③ここで、
～
がすべて奇数であるためには、
の全てについて③が偶数であればよいわけですが、
が
で割って偶数，つまり、 であれば、
，
，･･････，
のすべてが偶数で、
～
のすべてが奇数になります。また、
のすべてで問題文の漸化式は①になります。
の場合には、
は、
未満の数を
で割るので、素因数分解するときの2の指数は1未満で、
が偶数になりません。つまり、
が奇数になりません。よって、
，
，･･･，
がすべて奇数であるような最小の自然数
は、
......[答]
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