阪大理系数学'24年前期[1]
自然数nに対して、関数
を
(
) で定める。ただし、eは自然対数の底である。
(1) 方程式
は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。 (2) (1)における実数解を
とおくとき、極限値
を求めよ。 (3) 極限値
を求めよ。
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解答 中間値の定理を用いる方程式の解の存在の証明、はさみうちの原理を用いる極限、いずれも典型問題です。勉強量が問われる問題です。
のとき、
より、
・・・Anが自然数より、![](gnm24os1.files/Eqn012.gif)
よって
のとき、
・・・B
これと@より、
が実数解を持つとすれば、
の範囲で実数解を持ちます。
(
)において、
,![](gnm24os1.files/Eqn020.gif)
よって、
は
において単調減少です。これと、@,B,中間値の定理より、方程式
は、ただ1つの実数解をもちます。
Aより、
・・・C∴
,
・・・D(1)より、
は
における方程式
の解なので、Dより
,
とすると、
(数列の極限を参照),はさみうちの原理より、
......[答]
(3) Cにおいて、
のとき、(2)の結果より、![](gnm24os1.files/Eqn039.gif)
よって、![](gnm24os1.files/Eqn040.gif)
は連続な関数なので、
,つまり、
......[答]
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