阪大理系数学'24年前期[1]
自然数nに対して、関数
を
(
)
(1) 方程式
は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。 (2) (1)における実数解を
とおくとき、極限値
を求めよ。 (3) 極限値
を求めよ。
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解答 中間値の定理を用いる方程式の解の存在の証明、はさみうちの原理を用いる極限、いずれにおいてもその典型問題です。勉強量が問われる問題です。
のとき、
より、
･･･②nが自然数より、
よって
のとき、
･･･③
これと①より、
は連続な関数なので、方程式
は、
の範囲で実数解を持ちます。
(
)において、
，
よって、
は
において単調減少です。これと、①，③，中間値の定理より、方程式
は、ただ1つの実数解をもちます。
②より、
･･･④∴ 
，
･･･⑤(1)より、
は
における方程式
の解なので、⑤より
，
とすると、
(数列の極限を参照)，はさみうちの原理より、
......[答]
(3) ④において、
のとき、(2)の結果より、
よって、
は連続な関数なので、
，つまり、
......[答]
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の解が
であることから、
