阪大理系数学'24年前期[3]
空間内の2直線
，mはねじれの位置にあるとする。
とmの両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。
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解答 京大理系24年[3]と同じような問題ですが、こちらは証明問題になっています。
「存在する」ことの証明は、どうすれば題意のものを得られるか、その手順を説明することによって行うことができます。以下では、その解法と、2直線上の点の最短距離を与える2点を結ぶ直線がその2直線に垂直になるという事実に基づく方法と、2通りの方法で解答してみます。なお、空間ベクトルを参照してください。
[解法1] 空間内の2つのベクトル
，
が、1次独立、つまり、
かつ
かつ
だとします。
，
の外積
は、
となります。
とすると、
，
，
となり、
(
)，
となってしまうので、
です。
となるので
(内積を参照)，同様に、
となるので
で、
(
)は
，
の双方に垂直なベクトルです。
が
と
で張る平面上のベクトルでないことは明らかですが、確かめておくと、仮に、s，tを実数として、
とおけたとします。
より、
，
より、
，
∴ 
と
のなす角をθとして、
∴ 
，
と
が1次独立でなくなるので、
とおくことはできず、
は
と
で張る平面上のベクトルではなく、
，
，
は1次独立です。 ･･･(＊)
空間内の2直線
，mはねじれの位置にあるので、2直線
，mの方向ベクトル
，
は平行ではなくかつ零ベクトルでなく、
(
)とすると、(＊)より、
，
であって、
，
，
は1次独立です。直線
を含み
に平行な平面をαとします。
平面αは、直線mとただ1つの交点Pを持ちます(交点を持たなければ、
//αとなり、
，
，
が1次独立であることに反します。また、平面と直線が複数の交点を持つことはありません)。
Pを通り
を方向ベクトルとする直線は、平面α内の直線であって、直線
とただ1つの交点Qを持ちます(交点を持たなければ、
//
となり
，
，
が1次独立であることに反します。また2直線が複数の交点を持つことはありません)。
//
であり、
，
より、
，
より、
とmの両方に直交する直線がただ1つ存在します。
[解法2] 上述したもう1つの考え方で解答します。
計算を簡単にするため、直線mが原点を通るように全体を平行移動し、直線
，mの方向ベクトル
，
が
を満たし、両ベクトルのなす角がθ，つまり、
だとします。2直線
，mはねじれの位置にあるので
です。直線
上の1点を指すベクトルを
とすると、空間内の2直線のベクトル方程式を、
と表すことができます。直線
上の点と直線m上の点の距離の2乗は、
(
)
かつ
･･･(＊＊)
よって、
です。 ･･･①
ここで(＊＊)より、
，これを代入すると、
よって、
です。 ･･･②
直線
上の点と直線m上の点の距離の最小値を与えるt，sは(＊＊)のただ1つで存在し、このとき直線
上の点と直線m上の点を結ぶ直線はただ1つに定まります。この直線は、①，②より、直線
と直線mの双方に垂直です。即ち、
とmの両方に直交する直線がただ1つ存在します。
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