阪大理系数学'24年前期[4]

とする。xy平面において、点を中心とする半径1の円をCとする。
(1) Cの部分とy軸および2直線で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
(2) Cで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をとする。(1)におけるについて、となるaの値を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 標準的な積分の計算問題なので、この問題は落とせません。

(1) C ・・・@
Cの部分は、となります。の範囲に図形が存在します。これをy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は、
 (y軸のまわりの回転体の体積を参照)


は、半径1の半円の面積に等しく(置換積分(その2)を参照)
 ・・・@
よって、
......[]

(2) Cで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる図形は、円Cの部分1回転してできる回転体から、円Cの部分1回転してできる回転体を除いたものです。この体積は、
 ( @)
注.標準的な解法とは言えませんが、円Cに関して対称なので、パップス・ギュルダンの定理(定積分と体積を参照)を用いてもを求めることができます。円Cの面積はπ,半径aの円周の長さはなので、です。
となるとき、

 (2次方程式を参照)

ここで、
 ( )
より、です。
より、
......[]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2024
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。