東京科学大医歯学系数学'25年前期[1]
20個の合同な正三角形の面を持ち、各頂点に5つの面が集まるへこみのない多面体を、正二十面体という。各面に20種類の異なる目が1つずつ与えられており、すべての目が等しい確率で出る正二十面体のサイコロをIとする。Iの2つの面A，Bに対し、Iの表面上を、Aの内部の点からBの内部の点へ、Iの頂点を通らずに移動するとき、横切るIの辺の本数の最小値を
とする。たとえば、AとBが1辺を共有しているとき、
となる。また、Iの任意の面Aに対し、
とする。さらに、Iをn回投げたとき、i回目に出た目に対応する面を
とし、
のとき、
(
)の最大値をM，最小値をmとする。このとき、以下の各問いに答えよ。
(1) xyz空間において、Iの1つの面とxy平面が平行となるようにIを配置したとき、Iの頂点または辺上の点を通りz軸に平行な直線とxy平面の交点全体の集合がなす図形を
とする。
の概形を描け。ただし、
における線分どうしの長さの比やなす角の角度は正確でなくてもよい。
(2) 
のとき、0以上の整数kに対し、
となる確率を
とする。
となるすべてのkに対して、それぞれ
を求めよ。
(3) 
のとき、
となる確率を求めよ。
(4) 
のとき、
となる確率を求めよ。
(5) 
のとき、
となる確率を求めよ。
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解答 立体感覚も問われる難問です。元問題に正二十面体の図が描かれているわけではないので、(1)からして大変です。
xy平面と平行であって、Iのxy平面上にないIの一つの面である正三角形を△ABC(右図赤色の辺で囲まれる三角形、つまり、一番上に来ている正三角形)とします。ここでは原則として、1回Iを投げて△ABCの位置にある面を
とし、i回Iを投げて出た目に対応する面
は、△ABCの位置にある
に対してどこに位置するか、ということで考えます。以下では、必ずしも、Iを投げて一番上に来ている面を△ABC，
として考えているわけではないことに注意してください。
(1) 問題文では、
を、「Iの頂点または辺上の点を通りz軸に平行な直線とxy平面の交点全体の集合」としていますが、これは正二十面体Iのすべての辺、頂点にz軸上方から光を当てたときのxy平面への投影を
とする、ということです。
(2) 
のとき、
が右図の赤線で囲まれた正三角形だとすると(以後、
として、正二十面体のサイコロをi回，j回投げたとき、「
が
と同じ正三角形」というのは、
に与えられている目と同じ目の正三角形が
になる、という意味です)、
，
となるのは、
が
と同じ正三角形になるときで、その確率は、
，
となるのは、
が右図の①の黄色着色部内の3個の正三角形のいずれかである場合で、その確率は、
，
となるのは、
が右図の②の橙色着色部内の6個の正三角形のいずれかである場合で、その確率は、
，
となるのは、
が右図の③のピンク色着色部(DHEIFGに関して裏側になります)内の6個の正三角形のいずれかである場合で、その確率は、
，
となるのは、
が右図の④の黄緑色着色部(裏側)内の3個の正三角形のいずれかである場合で、その確率は、
，
となるのは、
が右図の⑤の水色着色(裏側)の正三角形である場合で、その確率は、
となることはありません。
のとき
です。
，
，
，
，
，
......[答]
(3) 
のとき
となるのは、
が右上図の赤線で囲まれた正三角形であるとして、 (i) 
が右上図③，④，⑤(DHEIFGに関して裏側)の領域内の正三角形，つまり、
である または
(ii) 
が右上図③，④、⑤の領域内の正三角形、つまり、
である または(iii) 
，
がともに右上図①，②の領域内の正三角形であってかつ、
である
場合です。なお、(i)と(ii)には重複があります。(i)，(ii)の確率を考えると、
または
が右上図の③，④，⑤に来る場合には
，
がともに右上図の③，④，⑤に来る場合が重複するので、その確率は、 
･･･⑥(iii)の場合、
が
と一致し、右上図の赤線で囲まれた△ABCに来たときには、
が③，④，⑤の領域内の正三角形にくれば
となりますが、これは(ii)の⑥に含まれます。
また、
が△ABCに隣接する△ABD，△BCE，△CAF(右上図の①)に来たとき、例えば
が△ABDに来たとき、
が右上図表側(①，②)の△CEIや△CFIに来ても
になります。
が△BCEに来ると、
が△ADG，△AFGに来ても
になります。
が△CAFに来ると、
が△BDH，△BEHに来ても
になります。これらの確率は、
･･･⑦
また、例えば、
が△ADGに来ると、
が右上図表側(①，②)の△BEH，△BCE，△CEI，△CFI(4通り)に来ても
になります。
が右上図②の6個の正三角形のどこに来ても同様で、これらの確率は、
･･･⑧
よって、
のとき
となる確率は、⑥，⑦，⑧より、 
......[答]
(4) 
が右上図の赤線で囲まれた正三角形であるとします。mを大きくしようとして、
，
のようにすると、
は⑤となり、
は
と同じ三角形に戻ってしまい、
，
になってしまいます。つまり、何度もIを投げると、それ以前に来た位置と近い位置に戻ってしまうことがあり、
になってしまいます。 
のとき
となるためには、
は、右上図の③，④，⑤の領域内の正三角形でなければなりません。ここで、・
が⑤だとすると、
のとき
となるためには、
は右上図表側に来る必要がありますが、このとき
となり
となってしまいます。 
・
が③の6個の正三角形のどこかに来たとすると
です。
のとき、
が右上図表側に来てしまうと
となり
となってしまいます。ですが、例えば
が右図のピンク色の正三角形の位置に来ると、
が右図薄茶色の4つの正三角形ののどちらかに来れば、
となります。
，
がこの状況となる確率は、
･･･⑩よって、
のとき
となる確率は、⑨，⑩より、
......[答]
の場合を考えます。 ・
が④の3個の黄緑色の正三角形のどこかに来たとします。例えば、
が右上図の黄緑色の正三角形であって、
が右上図薄紫色の2個の正三角形のどちらかだとして、上記⑩と同様に考えると、
である位置は、どれも
であって
となってしまいます。 
・
が③の6個のピンク色の正三角形のどこかに来たとします。例えば、
が右図ピンク色の正三角形であって、
が右上図薄茶色の4個の正三角形のどれかだとして、例えば、右図の2通りの状況を考えると、
が右図の緑色の正三角形に来れば、
となります。この2通り以外には、
となる場合はありません。よって、
のとき
となる確率は、
......[答]
の場合には、
(
)のいずれかの中に1か2になるものがあり、
となり得ず、
となる確率は0 ......[答]
(5) 
のとき、
は0から5までの整数値のみとるので、
となる、ということは、
は0，5をとらない、ということです。 
のとき、
が0，5をとらない、ということは、
は
と一致せず、
が右上図の⑤に来ることもない(
の行先は
通り) ･･･⑪
ということです。この確率は
です。
のとき、
，
，
が0，5をとらない、ということは、⑪に加えて、
，
はともに
と一致せず、
も
も右上図の⑤に来ることはない(
，
の行先は
通り) ･･･⑫
ということです。この確率は
です。
のとき、
，
，
，
，
，
が0，5をとらない、ということは、⑫に加えて、
，
，
はいずれも
と一致せず、
，
，
はいずれも右上図の⑤に来ることはない(
，
，
の行先は
通り)ということです。この確率は
です。
のとき、
(
)がすべてのi，jについて0，5をとらない確率は、
のとき、正二十面体には20個の面しかないので、
～
の全てが、
と異なり、かつ、右上図の⑤に来ることはない、ということは起こりません。このときは、確率は0です。
以上より、
のとき、
となる確率は、
のとき
，
のとき0 ......[答]
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本の辺があります。2つの正三角形が接するところに正二十面体の1本の辺ができるので、正二十面体には
本の辺があります。正二十面体の頂点は、右図のA，B，C，D，E，F，G，H，Iの他に、この裏側に赤線で描いた正三角形の対面となる正三角形の3頂点があり、頂点は全部で12個あります。
また、
を描くときに、正二十面体の対称性より、右上図の太線と赤線で描いた図形と同じ図形が、上下が入れ替わって裏側にも存在することに注意します。
を図示すると、右図のようになります。
・
が④の3個の正三角形のどこかに来たとすると
です。
のとき、
が右上図表側に来てしまうと
となり
となってしまいます。ですが、例えば
が右図の黄緑色の正三角形の位置に来ると、
が右図の薄紫色の2つの正三角形のどちらかに来れば、
となります。
，
がこの状況となる確率は、
･･･⑨
