一橋大数学'05年前期[4]
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aを定数とし、xの2次関数
，
を次のように定める。
，
(1) 2つの放物線
と
が2つの共有点をもつようなaの範囲を求めよ。 (2) (1)で求めた範囲に属するaの値に対して、2つの放物線によって囲まれる図形を
とする。
の面積をaで表せ。 (3) aが(1)で求めた範囲を動くとき、少なくとも1つの
に属する点全体からなる図形の面積を求めよ。
解答 定番の頻出問題です。(3)はxを固定しaの関数とみて最大値を考え、領域を求めます。
(1) 
と
を連立して、 整理すると、
･･･①2つの放物線
と
が2つの共有点をもつとき、2次方程式①は、相異なる2実数解をもち、判別式Dは、 
･･･②∴ 
......[答]
(2) 
であるときに、①の2解をα，β (
)として、
においては
より、
の面積は、 
(
の2解がα，β であることに注意)
･･･③ (定積分の公式を参照)ところで、
，
と②より、 ③に代入して、
......[答]
(3) 
のグラフは、aが動くとあちこち動き回って考えにくいので、あるx座標のところでだけ考えることにします。このx座標のところでは、aが変わるとグラフが動くのに伴い、y座標が変化します。このy座標のとり得る範囲が、「少なくとも1つの
に属する点全体からなる」図形Kをこのx座標のところで切断したときのy座標の範囲になります。 そこで、xを固定してaを動かしたときのyの範囲を考えることにします(2次関数の最大最小を参照)。 yの最大値については、軸位置
が、範囲
の右側にあるのか(
，つまり
)、含まれるのか(
)、左側にあるのか(
)で場合分けし、yの最小値については、軸位置が範囲
の中間位置
の左側か(
)右側か(
)で場合分けして考えることにします。
(i) 
のとき、軸位置は範囲
の右側に来ます。右図より、yの最大値は、
のとき、
(ii) 
のとき、軸位置は範囲
の中にあります。右図より、yの最大値は、
のとき、
(iv) 
のとき、軸位置は範囲
の中間位置よりも右に来ます。右図より、yの最小値は、
のとき、
(v) 
のとき、軸位置は範囲
の中間位置よりも左に来ます。右図より、yの最小値は、
のとき、
境界線の
･･･④ と、
･･･⑤ を連立すると、 ∴ 
④と⑤は
において接します。
境界線の
･･･⑥ と、⑤を連立すると、 ⑥と⑤は
において接します。
境界線の
･･･⑦ と、⑤を連立すると、 ∴ 
⑦と⑤は
において交わります。
以上より、図形Kは、
から上側で
から下側の部分になります(右図黄緑色着色部分)。その面積
は、 
......[答]
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のとき、軸位置は範囲
の左側に来ます。右図より、yの最大値は、
のとき、
かつ 
に注意してください。