一橋大数学'07年前期[1]
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mを整数とし、
とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、
をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。 (2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式
を解け。
解答
(1)
とおくと、 よって、
も
の解です。
,
を2解とする2次方程式を求めます。
,
を2乗すると、 これが、z,
を2解とする2次方程式です。
を
で割ると割り切れるはずですが、商は
,余りについて、 よって、
・・・@
・・・AAより、
と
は60の約数(整数を参照)で、
より
∴
これを満たす整数aであって、
(偶数です)が60の約数となるものを探します。 bが整数にならず不適。
bが整数にならず不適。
∴
@より、
・・・C bが整数にならず不適。
∴
@より、
・・・D
となり不適。
となり不適。
となり不適。・これ以外に
が60の約数となる場合はありません。
C,Dより、
......[答]
......[答]
......[答]
[別解] 3次方程式の解と係数の関係を利用することもできます。
,
以外の解をcとして、3次方程式の解と係数の関係より、
Eより、
F,Gに代入して、
となり、@,Aが出てきます。
以降は、上記と同じようにすればよいのですが、(2)では、方程式を解かなくても、
からすぐに3つめの解が得られます。
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