一橋大数学'09年前期[2]
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(1) 任意の角θ に対して、
が成立するような点
の全体からなる領域をxu平面上に図示し、その面積を求めよ。 (2) 任意の角α，β に対して、
が成立するような点
の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。
解答 他サイトの解答を見ると、(1)では
の最大値が
以下で最小値が
以上であればよい、(2)では
の最大値が1以下で最小値が
以上であればよい、と、単純に書かれています。言われてみれば確かにそうなのですが、点
の存在領域を問題にしているので、どうしてもx，yの方に目が向いてしまいがちで、試験会場でそう発想すること自体が難しいだろうと思います。
かつて出題された'97年後期[5]などの難問でもそうなのですが、パラメータaを含むx，yの式があって、
の存在領域を求めよ、とか、曲線の通過領域を求めよ
言われたら、x，yではなく、パラメータaの方に着目する、ということを覚えておいてください。
本問では、(1)ではθ に、(2)では、
，
の方に着目します。
(1) 
･･･① ・
のとき、①は任意の角θ に対して成立するので、
は求める領域内の点です。 ・
ではないとき、 ただし、δ は、
，
をみたす角。θ が任意の角であるとき、
よって、任意の角θ に対して①が成立するためには、
･･･②かつ
･･･③であることが必要十分です。
②より、
･･･④
③より、
･･･⑤④，⑤の境界線、
，
は、連立すると、 
は、④，⑤をみたします。
よって、求める領域は、④かつ⑤で、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)。
なので、領域の面積
は、半径2の円の面積の
から、頂角
をはさむ2辺の長さが2の二等辺三角形の面積を引いて、直線
と放物線
とで囲まれる部分の面積を加えたものになります。
(2) 
･･･⑥ ・
のとき、⑥は任意の角α，β に対して成立するので、
は求める領域内の点です。 ・
ではないとき、
，
とおくと、α，β が任意の角であれば、 
，
･･･⑦
⑦をみたすようにa，bを動かすとき、
は右図の正方形の水色着色部分(境界線を含む)にあります。は、
のときにみたされるので、ab平面で直線
から原点側の領域を表します。
直線
は、a切片
(
)，b切片
でa軸の負側を通過する直線です(
ならb軸の負側、
ならb軸の正側を通過します)。 は、
のときにみたされるので、ab平面で直線
から原点側の領域を表します。
直線
は、a切片
(
)，b切片
でa軸の正側を通過する直線です(
ならb軸の正側、
ならb軸の負側を通過します)。
従って、⑦をみたす任意のa，bが⑥をみたすためには、右図の正方形の頂点、 において⑥がみたされることが必要十分です。よって、
即ち、
ここで、
であれば
はみたされ、
であれば
はみたされるので、 
･･･⑧
は⑥をみたします。
よって、求める領域は⑧で、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)。
領域の面積
は、x軸と放物線
で囲まれる部分の面積の2倍で、
......[答]
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