一橋大数学'09年前期[3]
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p，qを実数とする。放物線
が、中心
で半径1の円と中心
で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。
解答 決して取り組みやすい問題とは言えませんが、'09年前期の一橋大の問題の中では、[1]と[3]しか標準的解法で解ける問題はないので、何とかものにしたい1題です。
放物線：
･･･①
にある放物線です(2次関数を参照)。
，
，
･･･②
：
が共有点をもつので、両式より
を消去すると、
整理して、
･･･③
この左辺を
とおきます。円
の存在範囲を考えると、方程式
は、
の範囲に少なくとも1実数解をもちます。
の軸の位置は
で解の範囲の中にあるので、この条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
です(右図参照)。
注．円
の存在範囲を考慮しないと、
となるようなyの実数解もあり得てしまいます。
④より、
･･･⑥
∴ 
･･･⑦
また、①と円
：
が共有点をもつので、両式より
を消去すると、
整理して、
･･･⑧
･･･⑨
この左辺を
とおきます。円
の存在範囲を考えると、方程式
は、
の範囲に少なくとも1実数解をもちます。
の軸の位置は
で解の範囲の中にあるので、この条件は、
です(右図参照)。⑩より、
･･･⑫
･･･⑬
，
の両方と共有点をもつ条件は、⑥かつ⑦かつ⑫かつ⑬ですが、①の頂点の存在範囲は②を用いて、
⑥は、
∴ 
⑦は、
∴ 
⑫は、
∴ 
⑬は、
∴ 
以上より、①の頂点の存在範囲は、上記で
，
として、
であって、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)。
なお、境界線
と
は、
(複号同順)において、
境界線
と
は、
(複号同順)において、
境界線
と
は、
(複号同順)において、
交わります。
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