一橋大数学'10年前期[4]
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0以上の整数
，
が与えられたとき、数列
を
により定める。
(2) 
のとき、
は10の倍数であることを示せ。
解答 3項間漸化式と整数の融合問題ですが、(2)はともかく、(1)をどうやって攻めるかが大問題です。試験時間のことを考えるのであれば、以下のように泥臭く対応するべきではないでしょうか。
(1) 3項間漸化式：
･･･① 特性方程式は、
∴ 
① ⇔ 
･･･② これより、
は、初項
，公比
の等比数列です。
∴ 
･･･③ ① ⇔ 
･･･④ これより、
は、初項
，公比3の等比数列です。
∴ 
･･･⑤
⑤－③より、 
･･･⑥
を10で割った余りを調べるために、⑥の中カッコ内を100で割ったときの余りを調べます。3をどんどんかけていって、100で割ったときの余り、つまり、下2桁がどうなるかを調べます。ここで、
の下2桁が‘01'となることに着目(
です)すると、
より、
で、
の下2桁は‘01'なので、
より、
の下2桁は‘83'です。
また、
の下2桁が‘04'になることに着目(
，
です)すると、
より、
の下2桁は‘04'なので、
，
より、
の下2桁は‘－12'です。
よって、⑥の中カッコ内を100で割ったときの余りは、
より20で、⑥より、
を10で割った余りは、
......[答]別解．整数mを10で割った余り、つまり、整数mの最下位桁の数字を
と表すと、p，q，r，sを整数として、 
･･･⑤が成り立ちます。
なぜなら、i，j，k，lを整数(
，
)として、
，
と書けたとすると、 より、
また、
となるからです。実は、上記の解答で既にこの考え方を使っています。
を10で割った余り、つまり、
について、漸化式：
と⑤より、 
･･･⑥これより、連続する2項、
，
について、
，
よって、⑥より、 同様にして、以後、
(
)となります。
これより、数列
は、
について、周期20で繰り返すことがわかります。
∴ 
......[答]
∴ 
･･･⑦
④より、
は、初項
，公比3の等比数列です。
∴ 
･･･⑧
⑧－⑦より、 よって、
は10の倍数です。
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，
のとき、
を10で割った余りを求めよ。
として、
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，
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，
，
は、初項
，公比
の等比数列です。
