3項間漸化式 関連問題
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数列の隣接3項：
，
，
に関する関係式を3項間漸化式と言います。
基本形：
･･･①，
，
，
まず、等比数列の漸化式の形を作ることを考えます。
数列
が、公比：β の等比数列だとすると、
･･･②
展開して整理すると、
①と比べると、
，
これより、α，β は2次方程式：
･･･③ の2解です。
2次方程式③を3項間漸化式①の特性方程式と言います。与えられた3項間漸化式①の各項の係数を用いて作った2次方程式です。
特性方程式③の解α，β を求めて、②の形を作ります。
1) ③が相異なる2実数解をもつ場合(
)には、
数列
は、初項：
，公比：β の等比数列ゆえ、
･･･④
このとき、①を、
と書き直すこともできます。
これより、数列
は、初項：
，公比：αの等比数列となるので、
･･･⑤
④－⑤より、
∴ 
[注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。手順を覚えること。
2) ③が重解αをもつ場合(
)には、②は、
となり、数列
は、初項：
，公比：αの等比数列となり、
両辺を
で割ると、
数列
は、初項：
，公差：
の等差数列ゆえ、
∴ 
この場合には、等比数列を2通り作ることができないので、1)の手順では一般項が求められません。
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