積分方程式 関連問題
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関係式の中に、積分を含むものを積分方程式といいます。
例1．
を満たす
を求める。
[解答] 定積分
は定数になるので、
･･･① とおきます。すると、
と書けます。この
を①に代入して積分すると(定積分を参照)、 ∴ 
，
......[答]
例2．
を満たす
を求める。
[解答] 定積分は変数t について行うので、被積分関数内の
は積分計算する間は定数であって、積分の外に出すことができます。 例1と同様に
･･･① とおくと、
と書けます。この
を①に代入すると、 ∴ 
，
......[答]
例3．
を満たす
を求める。
[解答] 定積分の上端、下端にxを含む場合は、
(定積分と微分を参照)を利用し、与式両辺を微分します。
･･･②また、与式の定積分を0とする操作を行います。積分の上端と下端を一致させます。与式では
を代入します。 
･･･③②より、
，両辺を積分する(不定積分の公式を参照)と、
(C：積分定数) 
とおくと、③より、
∴ 
.......[答]
例4．
を満たす
を求める。
[解答] 定積分の上端、下端にxを含むので、例3と同様に、
を利用し、与式両辺を微分します。
･･･④これは、線形1階微分方程式(微分方程式(その2)を参照)と呼ばれるタイプの微分方程式で、定数変化法を用いて解きます。
がない場合の方程式
の解は
(A：定数)です。
がついた場合の解を、この定数Aが関数
になったものだとして、 
･･･⑤とおくと、
これと④を見比べて、
，つまり、
，よって、 与式で、
を代入すると、
，⑤より、
，よって、
∴ 
⑤より、
......[答]
例3．例4．のような、積分の上端・下端にxを含むタイプの積分方程式は、微分して微分方程式に直して解くことになります。
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