同時分布

同時分布

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箱の中にAと書かれたカードが3枚、Bと書かれたカードが2枚入っています。袋Aには赤球1個、白球2個、青球3個が入っており、袋Bには赤球3個、白球1個、青球2個が入っています。カード5枚を引くのは同様に確からしく、袋の中の6球を取り出すのは同様に確からしいとします。箱からカードを1枚引いて、カードに書かれている袋から球を1個取り出すとします。カードA，カードBを引くそれぞれの場合に、袋から赤球、白球、青球を取り出す確率を表にすると、以下の表(＊)のようになります。

	赤	白	青	計
A
B
計				1

このように、Xが取り得る値、A，B，また、Yが取り得る値、赤、白、青のすべての組に対してそれぞれ確率が定まるような分布を、X，Yの同時分布と言います。
一般的に、

，

として、確率変数Xの取り得る値

，確率変数Yが取り得る値

について、確率

が以下の表(＊＊)のように定まり、

，

であれば、この分布がX，Yの同時分布です。

	･･･	計
	･･･
	･･･

	･･･
計	･･･	1

確率変数X，Yの平均(期待値)は(確率分布を参照)、

，

表(＊＊)の分布に従う確率変数X，Yの和となる確率変数

の平均(期待値)は、

となります。「和の期待値は期待値の和」になっています。
また、a，bを定数として、確率変数

の平均(期待値)は、

2つの事象A，Bにおいて、事象Aが起こるか起こらないか、ということが、事象Bの起こる確率に影響しないとき、事象Aと事象Bは互いに独立である、と言います。このとき、事象Aと事象Bがともに起こる確率

は、

(独立試行の確率を参照)

となります。それに対して、事象Aが起こるか起こらないか、ということが、事象Bの起こる確率に影響するとき、事象Bは事象Aに従属する、と言います。このとき、事象Aが起きたという条件の下に事象Bが起こる確率を

(条件付確率と言います)として、事象Aと事象Bがともに起こる確率

は、

となります。表(＊)の分布は、例えば、Aと書かれたカードを引いて赤球を取り出す確率

は、Aと書かれたカードを引く確率

と、Aと書かれたカードを引くという条件の下に赤球を取り出す確率

の積、つまり、

になっていて、赤球を取り出す事象が、Aと書かれたカードを引く事象に従属しています。このとき、確率変数Xと確率変数Yとは独立ではありません。
仮に、表(＊)の分布で、袋Aも袋Bも袋の中に、赤球1個、白球2個、青球3個入っているとすれば、赤球を取り出す確率、白球を取り出す確率、青球を取り出す確率は、カードAを引くか引かないかに依存しなくなります。この場合には、確率変数Xと確率変数Yとは互いに独立です。

表(＊＊)の分布で、