同時分布
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箱の中にAと書かれたカードが3枚、Bと書かれたカードが2枚入っています。袋Aには赤球1個、白球2個、青球3個が入っており、袋Bには赤球3個、白球1個、青球2個が入っています。カード5枚を引くのは同様に確からしく、袋の中の6球を取り出すのは同様に確からしいとします。箱からカードを1枚引いて、カードに書かれている袋から球を1個取り出すとします。カードA，カードBを引くそれぞれの場合に、袋から赤球、白球、青球を取り出す確率を表にすると、以下の表(＊)のようになります。
このように、Xが取り得る値、A，B，また、Yが取り得る値、赤、白、青のすべての組に対してそれぞれ確率が定まるような分布を、X，Yの同時分布と言います。
一般的に、
，
として、確率変数Xの取り得る値
，確率変数Yが取り得る値
について、確率
が以下の表(＊＊)のように定まり、
，
，
，
であれば、この分布がX，Yの同時分布です。
確率変数X，Yの平均(期待値)は(確率分布を参照)、
，
表(＊＊)の分布に従う確率変数X，Yの和となる確率変数
の平均(期待値)は、
となります。「和の期待値は期待値の和」になっています。
また、a，bを定数として、確率変数
の平均(期待値)は、
2つの事象A，Bにおいて、事象Aが起こるか起こらないか、ということが、事象Bの起こる確率に影響しないとき、事象Aと事象Bは互いに独立である、と言います。このとき、事象Aと事象Bがともに起こる確率
は、
となります。それに対して、事象Aが起こるか起こらないか、ということが、事象Bの起こる確率に影響するとき、事象Bは事象Aに従属する、と言います。このとき、事象Aが起きたという条件の下に事象Bが起こる確率を
(条件付確率と言います)として、事象Aと事象Bがともに起こる確率
は、
となります。表(＊)の分布は、例えば、Aと書かれたカードを引いて赤球を取り出す確率
は、Aと書かれたカードを引く確率
と、Aと書かれたカードを引くという条件の下に赤球を取り出す確率
の積、つまり、
になっていて、赤球を取り出す事象が、Aと書かれたカードを引く事象に従属しています。このとき、確率変数Xと確率変数Yとは独立ではありません。
仮に、表(＊)の分布で、袋Aも袋Bも袋の中に、赤球1個、白球2個、青球3個入っているとすれば、赤球を取り出す確率、白球を取り出す確率、青球を取り出す確率は、カードAを引くか引かないかに依存しなくなります。この場合には、確率変数Xと確率変数Yとは互いに独立です。
表(＊＊)の分布で、
(
)となる事象と
(
)となる事象が同時に起こるとき、この2つの事象が独立であれば、
となる確率
は、
となる確率に影響せず、
かつ
となる確率は、
となる確率
は、
となる確率
の積になります。つまり、
このとき、確率変数Xと確率変数Yとは互いに独立です。
表(＊＊)の分布において、確率変数Xと確率変数Yとが互いに独立であるとき、確率変数
の平均(期待値)は、
また、このとき、確率変数Xと確率変数Yの和となる確率変数
の分散は、
また、a，bを定数として、確率変数
の分散は、
同様に、
，
が成り立ちます。
確率変数Xの取り得る値
(
)，確率変数Yが取り得る値
(
)に対して、以下の性質をもつ確率
が定まるとき、この関係を同時分布と言う。
和の平均(期待値)：
，また、a，bを定数として、
同時分布において、確率変数X，Yが独立であるとき、
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