慶大理工数学'07年[B1]
(1) 
を満たす3次式
と、
を満たす4次式
を求めなさい。また、多項式
で、 を満たすものを求めなさい。解答欄には答だけを書くこと。
(2) 
を(1)で求めた多項式とする。
とするとき、
であるためには、
または
または
であることが必要十分であることを証明しなさい。 (3) 
の値を求めなさい。値だけでなく、なぜそうなるのかも書くこと。
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自然数nに対して、
で与えられるn次多項式
をチェビシェフの多項式と言います。
の定義域、値域とも、
，
となっていて、
のグラフが
，
の正方形の領域にすっぽりと収まるのでハンドリングし易く、入試でもよく採り上げられます。
(1) 
は3倍角の公式で構わないのですが、
も求めるので、
，
ともに、2倍角の公式を使って求めることにします。 
，
......[答]
を
で割る除算を実行することによって、
･･･①
......[答]
･･･②
の係数を比較することにより、
......[答]
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とすると、
または 
より、
より、
(三角関数を含む方程式を参照)
になるので、
とすると、
，
，
，
は、互いに異なる値になります。
より、
は、
の解ではありません(因数定理を参照)。
，
，
は、3次方程式
の異なる3個の解であり、3次方程式は高々3個の解しか持たないので、3次方程式
の全ての解です。
とするとき、
であるためには、
または
または
であることが必要十分です。 (証明終)
，
，
とおくと、
に入れ替え、