慶大理工数学'07年[A1]
(1) 
とする。実数aに対して、 を考える。
を最小にするようなaを
とするとき、
ア ，
イ である。
次に、関数
と、実数b，cに対して、 を考える。
を最小にするようなb，cをそれぞれ
，
とすれば、
ウ ，
エ である。 (2) 正9角形の3つの頂点でできる
(
)個の三角形のうち、鈍角三角形の個数は オ 個である。一般に、正整数nに対して、正
角形の3つの頂点でできる鈍角三角形は、全部で カ 個ある。
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解答(1)(ア) 
これを最小にするaは、
∴ 
......[答] ∴ 
1 ......[答]
(ウ) 
で
となることに注意して、 
は、b，cに依存しない定数。
......[答](エ) 0 ......[答]
(2)(オ) 正9角形の頂点に順に、
，
，･･･，
と名前をつけます。三角形が鈍角三角形になるのは、正9角形の外接円の直径の片側に3頂点がくる場合です。
ここでは、最大辺に目をつけます。
重複して数えないように、最大辺で正9角形を2つに分けるとき、小さい方の多角形に含まれる三角形のみを考えることにします。
(i) 最大辺の両端が隣接2頂点になることはありません。
(ii) 最大辺の両端が1頂点おいた2頂点、例えば、
，
のとき、三角形のもう一つの頂点は
であって、三角形
は鈍角三角形です。このタイプの鈍角三角形は、最大辺の選び方だけ9個あります。 (iii) 最大辺の両端が2頂点おいた2頂点、例えば、
，
のとき、三角形のもう一つの頂点は、
または
です。三角形
，三角形
は鈍角三角形です。最大辺の選び方が9通りあり、各々について残る頂点の選び方が2通りあるので、このタイプの鈍角三角形は
個あります。 (iv) 最大辺の両端が3頂点おいた2頂点、例えば、
，
のとき、三角形のもう一つの頂点は、
または
または
です。三角形
，三角形
，三角形
は鈍角三角形です。最大辺の選び方が9通りあり、各々について残る頂点の選び方が3通りあるので、このタイプの鈍角三角形は
個あります。 これですべての場合です。
鈍角三角形は、
個あります。 54 ......[答]
(カ) 正
角形の場合(正9角形は
の場合になります)、最大辺の両端の頂点は、1頂点おいた2頂点、から、
頂点おいた2頂点までの可能性があります。 正9角形のときと同様に考えて、最大辺で正
角形を2つに分けるとき、小さい方の多角形に含まれる三角形のみを考えることにします。
最大辺がk頂点おいた2頂点となる場合(
)、このk個の頂点が三角形の残る頂点となる可能性があるのでk通りの三角形ができます。
いずれのkの値についても、最大辺の選び方は
通りあり、鈍角三角形は、 
個
......[答]
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