慶大医数学'09年[2]
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
a，bを正の定数、mを実数、kを負の実数とする。xy平面上の楕円C：
と直線l：
が異なる2点P，Qで交わるための必要十分条件は
であり、このとき、
である。さらに、点P，Qを固定して点Rを楕円C上で動かすときの
の面積の最大値をAとすると
である。次に、mを固定してkを動かすとき、Aが最大となるkの値は
であり、その最大値は
である。
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解答 下手な計算をすればいくらでも面倒になってしまいます。工夫を心がけましょう。
楕円C：
･･･①
直線l：
･･･② ①，②を連立すると、
分母を払って、
･･･③
･･･④
より、
より、
･･･⑤
(あ) 
......[答]
以後、
がしつこく計算に出てくるので、これを、
とおきます。判別式は
となります。
③の2解をα，β (
)とすると、2解の差は、
P
，Q
，S
とすると、直角三角形PQSにおいて三平方の定理より、
PS：QS：PQ = 1：
：
④と
より、
･･･⑥
......[答]
より、
の面積が最大になるのは、Rが、傾きmの直線と楕円との2つの接点のうち
にある方の接点に来たときです。
④において、
の場合も含めて
のとき、
接点が
の部分にあるのは、
のときで、このとき、2次方程式③は、重解：
をもちます。これが
の面積を最大とするRのx座標になります。②を用いて、この点のy座標は、
点
と直線l：
(
)との距離dが
の面積が最大のときの高さ(底辺はPQ)になります。
(う) 
......[答]
の面積の最大値Aは、⑥と(い)の結果を用いて、
とおくと、
⑤より、pは
の範囲で動きます。
増減表より、Aを最大とするkの値は、
(え) 
......[答]
Aの最大値は、
(お) 
......[答]
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