慶大理工数学'09年[A4]
とする。このとき、3次方程式
はただ一つの実数解
をもつ。正の数Rに対し、
の範囲でaを動かすとき、対応する実数解
が整数となるようなaの個数を
とする。
となるようなRの範囲は ナ 
ニ である。
とおき、
をuで表すと ヌ となる。したがって、
をaを使って表せば
(
)
が有限な正の値となるのは
ノ のときであり、そのとき
ハ である。
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解答 問題文がわかりにくいのですが、そこがこの問題のポイントなので、
がいったい何を意味するのか、よくつかんでから解答するようにしましょう。出題者の意図がつかめれば、親切な誘導になっていることに気づけるはずです。
とおくと、
より、
は単調増加関数です。
となっているので、例えば、
として、aが
の範囲を動くとき、
を満たすxは
であってxは整数にならないので、
です。
とすると、aが
の範囲を動くとき、
を満たす整数xは、
のときの
のみであって、
です。
だとすると、aが
の範囲を動くとき、
を満たす整数xは、
のときの
と
のときの
の少なくとも2個あるので、
です。
従って、
となるようなRの範囲は
です。
(ナ) 2 ......[答]
(ニ) 7 ......[答]
(ヌ) 
とおくと、 
......[答]
より、
∴ 
問題文中の指定により
となる方をとって、 (ノ) aを
の範囲で動かすとき、
を満たすxが整数となるときの「aの個数」が
なのですが、
で
が単調増加関数であることを考えると、aの個数は
を満たす「整数xの個数」に一致し、aを
の範囲で動かすときの
を満たす整数xのうちの「最大の整数n」と一致します。つまり、 
のとき、
の範囲をaが動くと
を満たす整数xは存在しないので、
のとき、
の範囲をaが動くと
を満たす整数xは、
のときの
の1つあり、
のとき、
の範囲をaが動くと
を満たす整数xは、
のときの
と、
のときの
の2個あり、
のとき、
の範囲をaが動くと
を満たす整数xは、
のときの
と
のときの
と
のときの
の3個あり、
という具合になっているので、nを自然数として、
のとき、
の範囲をaが動くと
を満たす整数xは
のときの
，
のときの
，･･･，
のときの
のn個あり、
となります。よって、
だとして、
∴ 
･･･②左辺の
と右辺の
は、
とすると、
では0に収束し、
では正の無限大に発散します(数列の極限を参照)。
のとき、
，
より
となるので、
が有限な正の値となるのは、
......[答] のときです。 (ハ) 
のとき、②は、 
とすると、
......[答]として考え、
のときにのみ とすることもできます。
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，
，
，
，
，･･･
･･･①
......[答]
(n：自然数)のとき、①で
として、
を
