慶大理工数学'22[5]

半径S上に3ABCがあり、線分ABBCCAの長さはそれぞれとする。

(1) である。平面ABCで球面Sを切った切り口の円をTとする。Tの半径はである。点Dが円T上を動くとき、△DABの面積の最大値はである。

(2) 球面Sの中心Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さはである。

(3) Eが球面S上を動くとき、三角錐EABCの体積の最大値はである。

解答 円Tは△ABCの外接円なのだということに気付けば、ひっかかるところはないでしょう。

(1) として、余弦定理より、
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Tの半径Rは、正弦定理より、
 ∴ ......[]
Tの中心をH,辺ABの中点をQ,円Tと垂直二等分線との2交点のうち、中心Hに関して辺ABと逆側にある方をPとして、点Dが円T上を動くとき、△DABの面積が最大になるのは、点Dが点Pに来るときで、

DABの面積の最大値は、△PABの面積であって、
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(2) 球面Sの中心Oから平面ABCに垂線を下ろすと切り口の円Tの中心Hに来ます。△OHAの直角三角形で、
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(3) Eが球面S上を動くとき、三角錐EABCの体積が最大になるのは、直線OHと球面Sとの2交点のうち、中心Oに関して平面ABCの逆側にある方の交点をUとして、点Eが点Uに来るときです。

三角錐EABCの体積の最大値は、三角錐UABCの体積であって、
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