慶應大学理工学部2022年数学入試問題
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[1](1) 
とする。空間のベクトル
，
はともに大きさが1であり、
，
，
とする。
(i) p，q，rを実数とし、
とするとき、内積
と
の大きさ
をp，q，rを用いて表すと、
，
である。
(ii) 
を満たす実数s，θが存在するような実数zは2個あるが、それらをすべて求めると
である。
(2) n を奇数とする。nと
の積が6の倍数であるための必要十分条件は、nを
で割ったときの余りが
となることである。ただし、実数xに対しxを超えない最大の整数を
と表す。また、
，
は
を満たす整数である。
，
を求める過程を解答欄(2)に記述しなさい。 [解答へ]
[2] rを正の実数とし、円
：
，楕円
：
を考える。
(1) 円
と楕円
の共有点が存在するようなrの値の範囲は
である。
(2) 
のとき、
と
の共有点の座標をすべて求めると
である。これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を
とする。連立不等式 の表す領域の面積は
である。
(3) 連立不等式
のあらわす領域をDとする。Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は
である。 [解答へ]
[3] 最初に袋の中に白玉が1個入っている。次の規則に従って、1回の操作につき白玉または赤玉を1個ずつ加えていく。
●1回目の操作では、コインを投げ、表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え、裏が出たときには白玉を袋の中に1個加える。
●2回目以降の操作では、コインを投げ、表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え、裏が出たときには袋から玉を1個無作為に取り出し、その色を見てから袋に戻し、さらに同じ色の玉を袋の中に1個加える。
(1) 2回目の操作を終えたとき、袋の中に白玉がちょうど2個入っている確率は
である。
(2) 3回目の操作を終えたとき、コインの表が2回、裏が1回出ていたという条件の下で、袋の中に白玉がちょうど2個入っている条件つき確率は
である。
以下、kは2以上の整数とし、k回目の操作を終えたときを考える。。
(3) 袋の中に白玉のみが入っている確率は
である。
(4) 1回目の操作で赤玉を加えたという条件の下で、袋の中に白玉がちょうどk個入っている条件つき確率は
である。
(5) 袋の中に白玉がちょうどk個入っている確率は
である。 [解答へ]
[4] 曲線C：
を考える。
(1) a，bを実数とし、
とする。曲線Cと直線
が共有点をもつためのaとbの条件を求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。
(2) 正の実数t に対し、C上の点A
を中心とし、直線
に接する円Dを考える。直線
と円Dの接点Bのx座標は
であり、円Dの半径は
である。線分ABを3：2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標をそれぞれ
，
とする。このとき、等式 が成り立つような実数kを求めると
である。ただし、
である。 [解答へ]
[5] 半径
の球面S上に3点A，B，Cがあり、線分AB，BC，CAの長さはそれぞれ
，
，
とする。
(1) 
である。平面ABCで球面Sを切った切り口の円をTとする。Tの半径は
である。点Dが円T上を動くとき、△DABの面積の最大値は
である。
(2) 球面Sの中心Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さは
である。
(3) 点Eが球面S上を動くとき、三角錐EABCの体積の最大値は
である。 [解答へ]
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