慶大理工数学'22[3]

最初に袋の中に白玉が1個入っている。次の規則に従って、1回の操作につき白玉または赤玉を1個ずつ加えていく。

1回目の操作では、コインを投げ、表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え、裏が出たときには白玉を袋の中に1個加える。
2回目以降の操作では、コインを投げ、表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え、裏が出たときには袋から玉を1個無作為に取り出し、その色を見てから袋に戻し、さらに同じ色の玉を袋の中に1個加える。

(1) 2回目の操作を終えたとき、袋の中に白玉がちょうど2個入っている確率はである。

(2) 3回目の操作を終えたとき、コインの表が2回、裏が1回出ていたという条件の下で、袋の中に白玉がちょうど2個入っている条件つき確率はである。

以下、k2以上の整数とし、k回目の操作を終えたときを考える。。

(3) 袋の中に白玉のみが入っている確率はである。

(4) 1回目の操作で赤玉を加えたという条件の下で、袋の中に白玉がちょうどk個入っている条件つき確率はである。

(5) 袋の中に白玉がちょうどk個入っている確率はである。

解答 この問題は少々考える必要があります。最初から以下の解答のように考えるのは難しいので、いきなり解き始めずに、3回目くらいまで樹形図を書くなどして状況をしっかり把握してから解くようにしましょう。

(1) 2回目の操作を終えたとき、袋の中に白玉がちょうど2個入っているのは、
1回目に表が出て赤玉を加え、2回目に裏が出て、赤白1個ずつの中から白を引くか、
1回目に裏が出て白玉を加え、2回目に表が出て赤玉を加える場合です。
その確率は、
......[]

(2) 3回目の操作を終えたとき、コインの表が2回、裏が1回出る確率は、反復試行の公式より、
 ・・・@
このとき、袋の中にちょうど2個の白玉が入っているのは、
1回目に裏が出て白玉を加え、2回目に表が出て赤玉を加え、3回目に表が出て、赤玉を加えるか、
1回目に表が出て赤玉を加え、2回目に裏が出て、赤白1個ずつの中から白を引き、3回目に表が出て、赤玉を加えるか、
1回目に表が出て赤玉を加え、2回目に表が出て赤玉を加え、3回目に裏が出て、赤2個白1個の中から白を引く場合です。
その確率は、@より、
求める条件付確率は、 ......[]

(3) 袋の中に白玉のみ入っているのは、k回の操作全てで裏が出た場合で、その確率は、 ......[]

(4) 1回目の操作で赤玉を加えたという条件の下で、袋の中に白玉がちょうどk個入っている、ということは、2回目以降は全て裏が出て白玉を引いた、ということです。2回目は赤白1個ずつの中から白を引き、3回目は赤1個白2個の中から白を引き、n回目()は赤1個白個の中から白を引き、k回目は赤1個白個の中から白を引くので、その確率は、
 ・・・A
1回目の操作で赤玉を加える確率は,求める条件つき確率は、
......[]

(5) k回の操作を終えたとき袋の中にちょうどk個の白玉が入っている、ということは、k回の操作のいずれか1回で表が出て赤玉1個が加わり、残りの回では裏が出て白玉を引く、ということです。
1回目の操作で表が出て赤玉を加え、2回目以降裏のみ出て各回白玉を引く確率は、(4)のAより
1回目の操作で裏が出て白玉を加え、2回目の操作で表が出て赤玉を加え、3回目以降裏のみ出て各回白玉を引く(3回目は赤1個白2個から白を引く)、その確率は、(4)のAと同様にして、
1回目から回目()まで裏が出て白玉が個加わり計n個になり、n回目の操作で表が出て赤玉が加わり、回目に裏が出て白を引き(1個白n個から白を引く)、以降裏のみ出て各回白玉を引く確率は、
よって、求める確率は、
......[]



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