慶大理工数学'22[4]

曲線Cを考える。
(1) abを実数とし、とする。曲線Cと直線が共有点をもつためのabの条件を求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。

(2) 正の実数t に対し、C上の点Aを中心とし、直線に接する円Dを考える。直線と円Dの接点Bx座標はであり、円Dの半径はである。線分AB32に内分する点をPとし、Px座標、y座標をそれぞれとする。このとき、等式
が成り立つような実数kを求めるとである。ただし、である。

解答 想像するに、(2)の極限の出題者の意図は、面倒な計算をしなくても、で効いてくるのはなので、分子の係数に着目すればを埋めることができる、ということなんだろうと思います。

(1) のとき、Cと直線が共有点をもつためには、が条件です。
のとき、まず、Cと直線が接する場合を考えてみます。
より、とすると、
直線が接点を通るので、 ∴

C
は単調増加で下に凸な曲線なので、傾きaの直線が傾きaの接線から上側を通れば、Cと共有点をもちます。その条件は、
よって求める条件は、のときのとき
......[]

(2) 半径ABと接線は垂直なので、直線ABの傾きはです。直線ABの方程式を、とおくと、点Aを通るので、
 ∴
よって、直線AB
と連立すると、,交点
Bx座標は、 ......[]
By座標も
Dの半径は、円の中心Aと直線との距離で、より、
......[]
AB32に内分する点Pは、

より、 ∴ ......[]



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