慶大理工数学'22年[4]
曲線C：
を考える。
(1) a，bを実数とし、
とする。曲線Cと直線
が共有点をもつためのaとbの条件を求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。
(2) 正の実数t に対し、C上の点A
を中心とし、直線
に接する円Dを考える。直線
と円Dの接点Bのx座標は
であり、円Dの半径は
である。線分ABを3：2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標をそれぞれ
，
とする。このとき、等式 が成り立つような実数kを求めると
である。ただし、
である。
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解答 想像するに、(2)の極限の出題者の意図は、面倒な計算をしなくても、
で効いてくるのは
なので、分子
の
の係数に着目すれば
を埋めることができる、ということなんだろうと思います。
(1) 
のとき、C：
と直線
が共有点をもつためには、
が条件です(指数関数を参照)。 
のとき、まず、C：
と傾きaの直線
が接する場合を考えてみます。
より、
とすると、
(対数関数を参照)直線
が接点
を通るので、
∴ 
C：
は単調増加で下に凸な曲線なので、曲線C：
と直線
と共有点をもつために、傾きaの直線が傾きaの接線から上側を通ることが必要十分です(微分法の方程式への応用(2)を参照)。つまり、
よって求める条件は、
のとき
，
のとき
......[答]
(2) 
とおくと、
において、
(微分の公式を参照)より、
は単調増加なので、
，つまり
であって、曲線C：
は直線
より上にあります。半径ABと接線
は垂直なので、直線ABの傾きは
です。直線ABの方程式を、
とおくと、点A
を通るので、 
∴ 
よって、直線AB：
と連立すると、
，交点Bのx座標は、
......[タ]点Bのy座標も
(2直線の交点を参照)円Dの半径は、円の中心A
と直線
との距離で、
より、 
......[チ]ABを3：2に内分する点P
は、
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，
より、
∴ 
......[ツ]