慶大理工数学
'22
年
[4]
曲線
C
:
を考える。
(1)
a
,
b
を実数とし、
とする。曲線
C
と直線
が共有点をもつための
a
と
b
の条件を求め、求める過程とともに解答欄
(1)
に記述しなさい。
(2)
正の実数
t
に対し、
C
上の点
A
を中心とし、直線
に接する円
D
を考える。直線
と円
D
の接点
B
の
x
座標は
であり、円
D
の半径は
である。線分
AB
を
3
:
2
に内分する点を
P
とし、
P
の
x
座標、
y
座標をそれぞれ
,
とする。このとき、等式
が成り立つような実数
k
を求めると
である。ただし、
である。
解答
想像するに、
(2)
の極限の出題者の意図は、面倒な計算をしなくても、
で効いてくるのは
なので、分子
の
の係数に着目すれば
を埋めることができる、ということなんだろうと思います。
(1)
のとき、
C
:
と直線
が共有点をもつためには、
が条件です。
のとき、まず、
C
:
と直線
が接する場合を考えてみます。
より、
とすると、
直線
が接点
を通るので、
∴
C
:
は単調増加で下に凸な曲線なので、傾き
a
の直線が傾き
a
の接線から上側を通れば、
C
:
と共有点をもちます。その条件は、
よって求める条件は、
のとき
,
のとき
......[
答
]
(2)
半径
AB
と接線
は垂直なので、直線
AB
の傾きは
です。直線
AB
の方程式を、
とおくと、点
A
を通るので、
∴
よって、直線
AB
:
と連立すると、
,交点
B
の
x
座標は、
......[
タ
]
点
B
の
y
座標も
円
D
の半径は、円の中心
A
と直線
との距離で、
より、
......[
チ
]
AB
を
3
:
2
に内分する点
P
は、
,
より、
∴
......[
ツ
]
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