慶大理工数学'22年[4]
曲線C：を考える。
(1) a，bを実数とし、とする。曲線Cと直線が共有点をもつためのaとbの条件を求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。

(2) 正の実数t に対し、C上の点Aを中心とし、直線に接する円Dを考える。直線と円Dの接点Bのx座標はであり、円Dの半径はである。線分ABを3：2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標をそれぞれ，とする。このとき、等式
が成り立つような実数kを求めるとである。ただし、である。
解答　想像するに、(2)の極限の出題者の意図は、面倒な計算をしなくても、で効いてくるのはなので、分子のの係数に着目すればを埋めることができる、ということなんだろうと思います。

(1) のとき、C：と直線が共有点をもつためには、が条件です。
のとき、まず、C：と直線が接する場合を考えてみます。
より、とすると、
直線が接点を通るので、　∴
C：は単調増加で下に凸な曲線なので、傾きaの直線が傾きaの接線から上側を通れば、C：と共有点をもちます。その条件は、
よって求める条件は、のとき，のとき ......[答]

(2) 半径ABと接線は垂直なので、直線ABの傾きはです。直線ABの方程式を、とおくと、点Aを通るので、
　∴
よって、直線AB：
と連立すると、，交点Bのx座標は、 ......[タ]
点Bのy座標も
円Dの半径は、円の中心Aと直線との距離で、より、
......[チ]
ABを3：2に内分する点Pは、
，
より、　∴ ......[ツ]


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