慶大理工数学
'22
年
[2]
r
を正の実数とし、円
:
,楕円
:
を考える。
(1)
円
と楕円
の共有点が存在するような
r
の値の範囲は
である。
(2)
のとき、
と
の共有点の座標をすべて求めると
である。これらの共有点のうち
y
座標が正となる点の
y
座標を
とする。連立不等式
の表す領域の面積は
である。
(3)
連立不等式
のあらわす領域を
D
とする。
D
を
y
軸のまわりに
1
回転させてできる立体の体積は
である。
解答
定型的な計算問題です。面倒なことにならないように、要領の良い考え方で進めましょう。
(1)
の式から、
,
の式に代入すると、
・・・@
判別式:
より、
2
次方程式@が
の範囲に解を持てば良いので、
として、
の軸の位置について
なので、
かつ
が条件。よって、
かつ
より、
,
......[
カ
]
,
5 ......[
キ
]
別解.楕円
上の点の座標は
θ
を実数として
,
と置くことができます。楕円上の点と円の中心
との距離の
2
乗は、
・・・A
より、
は、
のとき最小値
,
のとき最大値
25
をとります。円の半径
の値の範囲は、
(2)
のとき@は、
∴
のとき、
の式より、
∴
のとき、
の式より、
∴
と
の共有点は、
,
......[
ク
]
別解.
(1)
の別解で、
とすると、
∴
としても求められます。
と
,
とで
1
辺の長さ
1
の正三角形ができるので、領域は、半径
1
の円の
となる扇形
2
個と、
1
辺の長さ
1
の正三角形に分けることができます。その面積は、
......[
ケ
]
(3)
について、
より、
(
複号の正は円の
の部分、複号の負は円の
の部分を表します
)
について、
より、
(
楕円の
の部分を表すのは、複号が正の場合です
)
領域
D
を
y
軸のまわりに
1
回転させると、
(
)
を回転させたものから、
(
)
を回転させたものと、
(
)
を回転させたものとをくり抜いた立体になります。求める体積は、
は、半径
1
の円の面積の
で、
は、半径
1
の円の面積の
から、底辺
,高さ
の三角形の面積を引いたもので、
よって、
......[
コ
]
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