慶大理工数学'22[2]

rを正の実数とし、円,楕円を考える。
(1) と楕円の共有点が存在するようなrの値の範囲はである。

(2) のとき、の共有点の座標をすべて求めるとである。これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標をとする。連立不等式
の表す領域の面積はである。

(3) 連立不等式
のあらわす領域をDとする。Dy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積はである。

解答 定型的な計算問題です。面倒なことにならないように、要領の良い考え方で進めましょう。

(1) の式から、の式に代入すると、


 ・・・@
判別式:
より、

2次方程式@がの範囲に解を持てば良いので、
として、の軸の位置についてなので、かつが条件。よって、かつ
より、
......[]5 ......[]
別解.楕円上の点の座標はθを実数としてと置くことができます。楕円上の点と円の中心との距離の2乗は、
 ・・・A
より、は、のとき最小値のとき最大値25をとります。円の半径の値の範囲は、

(2) のとき@は、

のとき、の式より、 ∴
のとき、の式より、 ∴
の共有点は、 ......[]
別解.(1)の別解で、とすると、
 ∴
としても求められます。

とで1辺の長さ1の正三角形ができるので、領域は、半径1の円のとなる扇形2個と、1辺の長さ1の正三角形に分けることができます。その面積は、
......[]

(3) について、より、 (複号の正は円のの部分、複号の負は円のの部分を表します)
について、より、 (楕円のの部分を表すのは、複号が正の場合です)
領域Dy軸のまわりに1回転させると、 ()を回転させたものから、 ()を回転させたものと、 ()を回転させたものとをくり抜いた立体になります。求める体積は、
は、半径1の円の面積ので、
は、半径
1の円の面積のから、底辺,高さの三角形の面積を引いたもので、
よって、
......[]



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