慶大理工数学'22年[2]
rを正の実数とし、円
：
，楕円
：
を考える。
(1) 円
と楕円
の共有点が存在するようなrの値の範囲は
である。
(2) 
のとき、
と
の共有点の座標をすべて求めると
である。これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を
とする。連立不等式 の表す領域の面積は
である。
(3) 連立不等式
のあらわす領域をDとする。Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は
である。
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解答 定型的な計算問題です。面倒なことにならないように、要領の良い考え方で進めましょう。
判別式：
･･･②
より、
と
が共有点を持つために、2次方程式①が
の範囲に解を持てばよい(2次方程式の一般論を参照)わけです。 ･･･(＊) 
･･･③として、
の軸の位置について
なので、(＊)のために、
かつ
が条件です。
よって、②，③より、
かつ
より、
，
......[カ]，5 ......[キ] 別解．楕円
上の点の座標
はθを実数として
，
と置くことができます。楕円上の点と 円 の中心
との距離の2乗は、 
より、
は、
のとき最小値
，
のとき最大値25をとります(2次関数の最大・最小を参照)。
と
が共有点を持つために、円の半径
の値の範囲は、
(2) 
のとき①は、 
∴ 
のとき、
の式より、
∴ 
のとき、
の式より、
∴ 
と
の共有点は、
，
......[ク]別解．(1)の別解で、
とすると、
としても求められます。
です。右図のように、
と
，
とで1辺の長さ1の正三角形ができるので、領域は、半径1の円の
となる扇形2個(右図黄緑色着色部)と、1辺の長さ1の正三角形(右図黄色着色部)に分けることができます。その面積は、
......[ケ]
(3) 
について、
より、
(複号の正は円の
の部分、複号の負は円の
の部分を表します) 
について、
より、
(楕円の
の部分を表すのは、複号が正の場合です)
領域Dは、円
の内側で楕円
の外側であってx軸から上の部分です(右図水色着色部)。領域Dをy軸のまわりに1回転させると、円の右側
(
)を回転させたものから、楕円
(
)を回転させたものと、円の左側
(
)を回転させたものとをくり抜いた立体になります。求める体積Vは、(y軸のまわりの回転体を参照)
は、半径1の円の面積の
で、
(置換積分(その2)を参照)
は、半径1の円の面積の
から、底辺
，高さ
の三角形の面積を引いたもので、
よって、
......[コ]
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の式から、
，
の式に代入すると、
∴ 
(
において、
)
