慶大理工数学'22年[2]

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rを正の実数とし、円：，楕円：を考える。

(1) 円と楕円の共有点が存在するようなrの値の範囲はである。

(2) のとき、との共有点の座標をすべて求めるとである。これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標をとする。連立不等式

の表す領域の面積はである。

(3) 連立不等式

のあらわす領域をDとする。Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積はである。

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解答　定型的な計算問題です。面倒なことにならないように、要領の良い考え方で進めましょう。

(1) の式から、，の式に代入すると、

　･･･�@

判別式：
より、
2次方程式�@がの範囲に解を持てば良いので、

として、の軸の位置についてなので、かつが条件。よって、かつ
より、， ......[カ]，5 ......[キ]

別解．楕円上の点の座標はθを実数として，と置くことができます。楕円上の点と円の中心との距離の2乗は、

　･･･�A

より、は、のとき最小値，のとき最大値25をとります。円の半径の値の範囲は、

(2) のとき�@は、

∴

のとき、の式より、　∴
のとき、の式より、　∴
との共有点は、， ......[ク]
別解．(1)の別解で、とすると、

　∴

としても求められます。

と，とで1辺の長さ1の正三角形ができるので、領域は、半径1の円のとなる扇形2個と、1辺の長さ1の正三角形に分けることができます。その面積は、

......[ケ]

(3) について、より、 (複号の正は円のの部分、複号の負は円のの部分を表します)

について、より、 (楕円のの部分を表すのは、複号が正の場合です)
領域Dをy軸のまわりに1回転させると、 ()を回転させたものから、 ()を回転させたものと、 ()を回転させたものとをくり抜いた立体になります。求める体積は、

は、半径1の円の面積ので、
は、半径1の円の面積のから、底辺，高さの三角形の面積を引いたもので、

よって、

......[コ]

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