慶大理工数学'22年[1]
(1)
とする。空間のベクトル
,
はともに大きさが1であり、
,
,
とする。
(i) p,q,rを実数とし、
とするとき、内積
と
の大きさ
をp,q,rを用いて表すと、
,
である。
(ii)
を満たす実数s,θが存在するような実数zは2個あるが、それらをすべて求めると
である。
(2) n を奇数とする。nと
の積が6の倍数であるための必要十分条件は、nを
で割ったときの余りが
となることである。ただし、実数xに対しxを超えない最大の整数を
と表す。また、
,
は
を満たす整数である。
,
を求める過程を解答欄(2)に記述しなさい。
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解答 計算が大変にならないように工夫されていて一本道です。あっさり仕上げてしまいましょう。空所補充問題なので、勿論、(2)では十分性の確認は不要です。
(i)
......[ア] ∴
......[イ]
(2) mを整数として、
とおくと、
が6の倍数(整数を参照)なので、kを整数として、これより、
,整数jを
とおくと、 ∴ 

よって、nを12で割ったときの余りは9です。
逆に、lを整数として、
とおくと、 よって、
は6の倍数です。
即ち、
が6の倍数であるための必要十分条件は、nを12で割ったときの余りが9となることです。12 ......[エ],9 ......[オ]
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