慶大理工数学'22[1]

(1) とする。空間のベクトルはともに大きさが1であり、とする。

(i) pqrを実数とし、とするとき、内積の大きさpqrを用いて表すと、である。

(ii) を満たす実数sθが存在するような実数z2個あるが、それらをすべて求めるとである。

(2) n を奇数とする。nの積が6の倍数であるための必要十分条件は、nで割ったときの余りがとなることである。ただし、実数xに対しxを超えない最大の整数をと表す。また、を満たす整数である。を求める過程を解答欄(2)に記述しなさい。

解答 計算が大変にならないように工夫されていて一本道です。あっさり仕上げてしまいましょう。空所補充問題なので、勿論、(2)では十分性の確認は不要です。

(1)
(i) ......[]
......[]

(ii) (i)で、と見ると、
 ∴



......[]

(2) mを整数として、とおくと、
6の倍数なので、kを整数として、

 ∴
よって、n12で割ったときの余りは9です。
逆に、
lを整数として、とおくと、

よって、6の倍数です。
即ち、
6の倍数であるための必要十分条件は、n12で割ったときの余りが9となることです。12 ......[]9 ......[]



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