慶大理工数学'24年[2]
3つのタイプのコインがある。タイプⅠは、両面にHが書かれている。タイプⅡは、両面にTが書かれている。タイプⅢは、片面にH，もう片面にTが書かれている。袋の中にタイプⅠのコインが1枚、タイプⅡのコインが2枚、タイプⅢのコインが3枚入っている。袋の中からコインを1枚取り出す。
(1) 取り出したコインを投げたとき、Hが出る確率はである。
(2) 取り出したコインを投げてHが出たという条件の下で、そのコインがタイプⅢである条件付き確率はである。
(3) 取り出したコインを2回投げたときに2回ともTが出たという条件の下で、そのコインがタイプⅡである条件付き確率はである。
(4) 取り出したコインを2回投げたとき、その結果からコインのタイプが分かる確率はである。
(5) nを2以上の自然数とする。取り出したコインをn回投げたとき、その結果からコインのタイプが分からない確率はである。


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解答　昨年の超弩級の難問(多分、正解者ゼロ)から打って変わり、今年の確率は穏やかです。

(1) 取り出したコインを投げてHが出るのは、Ⅰをとる(確率，この場合は必ずHが出ます)か、Ⅲをとり(確率)、H面が出る(確率)場合です。求める確率は、
......[ウ]

(2) (1)において、コインを投げてHが出たときに、このコインがタイプⅢである確率は，求める条件付き確率は、 ......[エ]

(3) コインを投げてTが出た、ということは、取り出したコインは、タイプⅡ(確率)かタイプⅢ(確率)だったということです。
・タイプⅡを取れば、コイン投げで必ずTが出ます。タイプⅡを取ってTが2回続けて出る確率は
・タイプⅢを取ったときは、Tが出る確率は，タイプⅢを取ってTが2回続けて出る確率は、
2回ともTが出る確率は、
2回ともTが出たという条件の下で、そのコインがタイプⅡである条件付き確率は、 ......[オ]

(4) 2回ともHが出たときは、コインがタイプⅠなのかタイプⅢなのか分かりません。
2回ともTが出たときは、コインがタイプⅡなのかタイプⅢなのか分かりません。
2回投げてコインのタイプが分かった、ということは、2回のうちどちらかがHで、もう1回がTだった(2通り)、ということであって、取り出したコインはタイプⅢだった(確率)、ということです。求める確率は、
......[カ]

(5) 余事象を考えます。コインをn回投げてコインのタイプが分かるのは、n回中、Hが少なくとも1回出て、かつTが少なくとも1回出る場合です。さらにこの余事象は、n回全てHが出るか全てTが出る場合で、その確率は、
コインのタイプが分かるのは、この余事象であり、かつ、タイプⅢのコインを取り出していたということなので、その確率は、
コインをn回投げてコインのタイプが分からないのは、さらにこの余事象で、その確率は、
......[キ]



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