慶大理工数学'25年[5]
座標平面上に3点A
，B
，C
をとる。ただし、Bは単位円周上を動き、
，
である。このとき、線分ABとBCの長さが等しくなるxの値は
である。
次に、nを2以上の整数とし、
に対して
のときの線分ABとBCの短い方の長さを
と表す。
とすると、
の最大値は
である。一方、
のとき
が最大となるkの値は
と
の2個ある。同様に、2以上の整数aで、
が最大となるkの値が2個あるものを考え、そのようなkのうち大きい方の値をmとおく。このとき、mをaの式で表すと
となる。また、
とおいたとき、
が最大となるkの値も2個あり、それらの大きい方をaとmの1次式で表すと
となる。
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解答 具体的に考えさせよう、という出題者の親心を感じる問題ですが、最後の[フ]は難問です。
B
は単位円周上を動くので、
･･･① 
のとき、
より、
∴ 
......[ヌ]
のとき、
として
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
(
)の最大値は
......[ネ]
のとき、
として
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
(
)を最大とするkの値は、3 ......[ノ]，4 ......[ハ]
，
の場合でわかる通り、
においては、kが大きくなるのに従って、
は次第に大きくなり
は次第に小さくなり
です。
においても
であり、
においては
であり、ここからkが大きくなるのに従い
ですが
は次第に小さくなります。
を最大とするkの値が2個あるということは、
が
の最大値になり
を最大とするkの値が
とmだということです。よって、
･･･②
･･･③
より、
......[ヒ]
注．
のとき
となり、[ハ]の結果が得られます。
として、
を最大とするkの値が2個(大きい方をjとすると他方は
です。jは自然数です)あるということは、②と全く同様に考えて、
･･･④
･･･⑤
としても、jをaとmの1次式の形に表すことができません。
そこで、jをaとmの1次式：
(p，q，rは実数の定数)で表し、
とともに、⑤に代入してみます。
整理すると、
･･･⑥
，
，
となり、jが整数になりません。そこで、③を加味し、③の定数c倍を⑥に加えて考えます。
ここで
，
，
，a，mの係数を0とすると、
･･･⑦
･･･⑧
･･･⑨
･･･⑩
･･･⑪
･･･⑫
，jを整数とするために、p，qを整数とすると、
，
(複号同順)，または、
，
(複号同順)，または、
，
(複号同順)，または、
，
(複号同順)
のとき⑩より
，
のとき⑩より
，いずれもjが整数にならず不適。
のとき⑩より
，
のとき⑩より
，いずれもjが整数にならず不適。
のとき⑩より
，⑫より
，⑦が成立せず不適。
のとき⑩より
，⑫より
，⑦が成立せず不適。
，
のとき⑩より
，⑦，⑧，⑪より
，⑫も成立しますが、
は、
，
では
となってしまうため不適。
，
のとき⑩より
，⑦，⑧，⑪より
，⑫も成立します。このとき、
は、
，
のとき
です。よって、
......[フ]
であれば④が成立し、
を最大とするkの値のうち大きい方がjになります。
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