慶應大学理工学部2025年数学入試問題
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[1](1) 複素数平面上で、方程式
を満たす点z全体が表す図形は、中心が
，半径が
の円である。 (2) nを自然数とする。1からnまでの自然数の中で6または8または9で割り切れるものの個数を
で表す。このとき
となる。また、
を満たす最大のnは
である。 (3) 
を微分可能な関数とし、
とする。関数
は微分可能な逆関数
をもつ。定数t に対して、関数
は
で極値をとるとする。このとき、
をt の多項式で表すと
となる。次に、任意の定数t に対して、関数
は
で極値をとるとする。このとき、
ならば、
である。 [解答へ]
[2] 座標平面上の点P
と点Q
および曲線
C：
(
) を考える。
(1) 曲線Cの接線で点Qを通るものは存在しないことを証明しなさい。
(2) 曲線Cの接線で点Pを通るものをlとし、Cとlの接点をAとする。このとき、lの方程式は
であり、点Aの座標は
である。また、曲線C上の点Bが を満たすとき、点Bの座標は
である。 (3) A，Bを(2)で定めた点とする。正の数t に対し、曲線上の点R
は点Aと異なるものとする。線分ARを2：1に内分する点をSとし、線分BSを3：2に内分する点をT
とするとき、uをt の式で表すと
である。また、
の値は
のとき最小となる。 [解答へ]
[3] 点P，Qを数直線の原点におき、1個のさいころを投げて出た目に応じてP，Qを動かす。偶数の目が出たときはPを正の向きに1だけ動かし、5または6の目が出たときはQを正の向きに1だけ動かす。たとえば、6の目が出たときはP，Qをともに正の方向に1だけ動かす。PとQの距離が初めて2となるまでさいころを投げ続けることとし、PとQの距離が2となったら、それ以降はさいころを投げない。n回さいころを投げてPとQの距離が2となる確率を
とする。
(1) 
である。 (2) n回さいころを投げて、PがQよりも正の向きに1だけ進んでいる確率を
，PとQが同じ位置にある確率を
，QがPよりも正の向きに1だけ進んでいる確率を
とすると という関係式が成立する。また、
が成り立つ。ただし、
〜
には数を記入すること。 (3) 関係式
(4) 
をnを用いて表すと
となる。 [解答へ]
[4] 以下の設問では、区間
で連続な関数
，
，
に対して、区間
で
ならば
であること、および
であることをことわりなしに用いてよい。
(1) 自然数nに対して
とする。このとき、
である。 (2) 自然数nに対して
とする。すべてのnに対して不等式 を証明しなさい。
(3) 
である。 (4) kを自然数とするとき、
である。 (5) 
を微分可能な関数とし、Mを正の定数とする。区間
で、
は連続かつ
と仮定する。自然数k，nに対して、
とし、
とする。このとき、すべてのnに対して不等式 を証明しなさい。ただし、必要であれば(2)の不等式と(4)の等式を証明なしに用いてよい。
[解答へ]
[5] 座標平面上に3点A
，B
，C
をとる。ただし、Bは単位円周上を動き、
，
である。このとき、線分ABとBCの長さが等しくなるxの値は
である。
次に、nを2以上の整数とし、
に対して
のときの線分ABとBCの短い方の長さを
と表す。
とすると、
の最大値は
である。一方、
のとき
が最大となるkの値は
と
の2個ある。同様に、2以上の整数aで、
が最大となるkの値が2個あるものを考え、そのようなkのうち大きい方の値をmとおく。このとき、mをaの式で表すと
となる。また、
とおいたとき、
が最大となるkの値も2個あり、それらの大きい方をaとmの1次式で表すと
となる。
[解答へ]
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は、
と
の2組ある。
