慶大理工数学'25年[1]
(1) 複素数平面上で、方程式
を満たす点z全体が表す図形は、中心が
，半径が
の円である。 (2) nを自然数とする。1からnまでの自然数の中で6または8または9で割り切れるものの個数を
で表す。このとき
となる。また、
を満たす最大のnは
である。 (3) 
を微分可能な関数とし、
とする。関数
は微分可能な逆関数
をもつ。定数t に対して、関数
は
で極値をとるとする。このとき、
をt の多項式で表すと
となる。次に、任意の定数t に対して、関数
は
で極値をとるとする。このとき、
ならば、
である。
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解答 (1)はアポロニウスの円です。(2)は、以下ではくどくど書きましたが試験会場ではさらっと計算しましょう。(3)の逆関数の問題は混乱し易いですが、基礎事項に立ち返って原則通り考えるのがコツです。
(1) 方程式
を満たす点z全体が表す図形は、点
と点
を、2：1に内分する点
と、2：1に外分する点
を直径の両端とする円になります(軌跡を参照)。 
......[ア]円の半径は、直径の
で、 
......[イ](2) 1から30までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものの個数
は、6，8，9，12，16，18，24，27，30の9個です。
......[ウ] 6と8と9の最小公倍数は72です(整数を参照)。1から72までの自然数の中で、6で割り切れるものは、
個あります。8で割り切れるものは
個あります。9で割り切れるものは
個あります。6と8で割り切れるもの即ち24で割り切れるものは
個あります。8と9で割り切れるもの即ち72で割り切れるものは72だけで1個です。6と9で割り切れるもの即ち18で割り切れるものは
個あります。6と8と9のいずれでも割り切れるものは72だけで1個です。1から72までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものは、
個あります。73から144までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものは22個あります。mを0以上の整数として、
となる自然数nの中で6または8または9で割り切れるものは22個あります。
なので、1から
までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものは
個あります。[ウ]より、3241から3270までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものは9個あり、1から3270までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものは
個あります。3271(72で割ると31余る)は6でも8でも9でも割り切れませんが、3272(72で割ると32余る)は8で割り切れます。32は8で割り切れますが、33，34，35は6でも8でも9でも割り切れず36は6と9で割り切れ、3273，3274，3275は6でも8でも9でも割り切れず3276は6と9で割り切れるので、
を満たす最大のnは
......[エ] (3) 
において、xとyを入れ替え、
，これをyについて解き(逆関数を参照)、
⇔ 
･･･① に注意します。①のとき、
です。 
(
) ･･･②
は
において極値をとる(関数の増減を参照)ので、
より、よって、
･･･③
ところで、
のとき、 中カッコ内は正なので、
③で
として、 
......[答]
(C：積分定数)
より、
......[答]
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と
の中点
より