慶大理工数学'25年[2]
座標平面上の点Pと点Qおよび曲線
C：　()
を考える。
(1) 曲線Cの接線で点Qを通るものは存在しないことを証明しなさい。
(2) 曲線Cの接線で点Pを通るものをlとし、Cとlの接点をAとする。このとき、lの方程式はであり、点Aの座標はである。また、曲線C上の点Bが
を満たすとき、点Bの座標はである。
(3) A，Bを(2)で定めた点とする。正の数t に対し、曲線上の点Rは点Aと異なるものとする。線分ARを2：1に内分する点をSとし、線分BSを3：2に内分する点をTとするとき、uをt の式で表すとである。また、の値はのとき最小となる。


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解答　平凡な計算問題なので落とせません。


(1) 曲線Cについて、，曲線Cの ()における接線は、
　･･･①
①と直線との交点のy座標は、①でとして、
　･･･②
ここでとすると、

この2次方程式は、判別式：より実数解を持たず、接線①は点Qを通り得ません。つまり、曲線Cの接線で点Qを通るものは存在しません。(証明終)
(2) ②でとすると、

より、
①でとして、接線lは、
l：
　 ......[キ]
接点のy座標は、Cの式でとして
点Aの座標は、 ......[ク]
曲線C上の点Bの座標をとします(内積を参照)。

∴
Cの式でとして、
∴
点Bの座標は、 ......[ケ]
(3) 点Rは点Aと異なるので
線分ARを2：1に内分する点Sは(ベクトルの内分・外分を参照)、
線分BSを3：2に内分する点Tは、
∴　 ......[コ]
相加平均・相乗平均の関係より、
等号成立はのときで、
より (を満たす)　 ......[サ]



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