慶大理工数学'25年[4]
以下の設問では、区間
で連続な関数
，
，
に対して、区間
で
ならば
であること、および
であることをことわりなしに用いてよい。
(1) 自然数nに対して
とする。このとき、
である。 (2) 自然数nに対して
とする。すべてのnに対して不等式 を証明しなさい。
(3) 
である。 (4) kを自然数とするとき、
である。 (5) 
を微分可能な関数とし、Mを正の定数とする。区間
で、
は連続かつ
と仮定する。自然数k，nに対して、
とし、
とする。このとき、すべてのnに対して不等式 を証明しなさい。ただし、必要であれば(2)の不等式と(4)の等式を証明なしに用いてよい。
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解答 ゴタゴタしているように見えますが、誘導通り進めて行けばゴールにたどりつけます。
(1) 
のとき、 ∴ 
......[ト] (2) 
のとき、
より成立します。 
のとき、
･･･①
より成立します。
より
問題文に書かれている不等式を用いて、
よって、
これを、
について加え合わせると、 よって、
･･･②
①＋②より、 より題意は成立します。
以上より、すべての自然数nに対して、
が成立します。(証明終) 
を満たすxは、jを整数として、
より
ですが、積分区間
においては、
より
です。
が正負を繰り返しても、積分区間
を
個の区間
(
)に分けると、その各一について、jにかかわらず、なので、
......[ニ](5) 
問題文の不等式を用いて、
より、(4)の結果を用いて、
(1)の結果を用いて、
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のとき、
を満たす整数kに対し、
において
......[ナ]
より
，
(証明終)
