慶大理工数学'25年[3]
点P，Qを数直線の原点におき、1個のさいころを投げて出た目に応じてP，Qを動かす。偶数の目が出たときはPを正の向きに1だけ動かし、5または6の目が出たときはQを正の向きに1だけ動かす。たとえば、6の目が出たときはP，Qをともに正の方向に1だけ動かす。PとQの距離が初めて2となるまでさいころを投げ続けることとし、PとQの距離が2となったら、それ以降はさいころを投げない。n回さいころを投げてPとQの距離が2となる確率を
とする。
(1) 
である。 (2) n回さいころを投げて、PがQよりも正の向きに1だけ進んでいる確率を
，PとQが同じ位置にある確率を
，QがPよりも正の向きに1だけ進んでいる確率を
とすると という関係式が成立する。また、
が成り立つ。ただし、
～
には数を記入すること。 (3) 関係式
(4) 
をnを用いて表すと
となる。
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解答 確率をネタとした連立漸化式の問題ですが、ややひねられていて、問題文の誘導に沿って考える必要があります。
(1) 2回さいころを投げて、PとQの距離が2になるのは、
または
が2回続けて出てPが2に来てQが原点にいるか、
が2回続けて出てQが2に来てPが原点にいる場合です。その確率
は、 
......[シ](2) 
回さいころを投げて、PとQが同じ位置にあるのは、n回さいころを投げて、PがQよりも1だけ進んでいて(確率
)
が出る(確率
，Qが1進む)か、PとQが同じ位置にいて(確率
)
または
または
が出る(確率
，PとQはともに動かないか、ともに1ずつ進む)か、QがPよりも1だけ進んでいて(確率
)
または
が出る(確率
，Pが1進む)ときで、その確率
は、 
･･･①
......[ス] 
......[セ] 
......[ソ]点P，Qが原点にいるとき、1回さいころを投げて
または
が出るとPはQより1進むので
，
または
または
が出るとPとQはともに動かないか、ともに1ずつ進み、PとQは同じ位置に来るので
，
が出るとQはPより1進むので
です。 ･･･(＊)このとき
です。試験会場ではこの時点で(タ)を2とすればよいのですが、確かめてみます。 
回目までで、
･･･②だったとします。このときPがQよりも1進んでいて
または
または
が出るか、PとQが同じ位置にいて
または
が出ると、
回目まででPがQよりも1進みます。その確率
は、 
･･･③
回目で、PとQが同じ位置にいて
が出るか、QがPよりも1進んでいて
または
または
が出ると、QがPよりも1進みます。その確率
は、
･･･④③に②を代入すると、
･･･⑤④，⑤を比較して、
よって数学的帰納法より、
に対して、
･･･⑥
となります。2 ......[タ] (3) ①に⑥を代入すると、
･･･⑦④のkをnに入れ替えて、
･･･⑧⑧＋k×⑦とすると、
のとき、
のとき、
よって、
の組は、
，
......[チ][ツ]
･･･⑨
･･･⑩(＊)，⑨より、数列
は、初項
，公比
の等比数列です。よって、
･･･⑪(＊)，⑩より、数列
は、初項
，公比
の等比数列です。よって、 
･･･⑫⑪＋⑫より、
，
回さいころを振ってPとQの距離が2となるのは、n回目までで、PがQより1進んでいて
または
が出るか、QがPより1進んでいて
が出るときで、その確率
は、⑥を用いて、
をnとして、
......[テ]
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は、
と
の2組ある。
，
と見て、
とおくと、
，
∴ 
